벡터곱 문서 원본 보기

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[[선형대수학]]에서 '''벡터곱'''(vector곱, {{llang|en|vector product}}) 또는 '''가위곱'''({{llang|en|cross product}})은 수학에서 3차원 공간의 벡터들간의 이항연산의 일종이다. 연산의 결과가 [[스칼라]]인 [[스칼라곱]]과는 달리 연산의 결과가 벡터이다. 물리학의 [[각운동량]], [[로런츠 힘]] 등의 공식에 등장한다.

== 정의 ==
두 벡터 <math>\mathbf{a}</math> 와 <math>\mathbf{b}</math>의 벡터곱은 <math>\mathbf{a} \times \mathbf{b}</math>라 쓰고([[쐐기곱]]과 연관지어 <math>\mathbf{a} \land \mathbf{b}</math>라고 쓰기도 한다.), 다음과 같이 정의된다.

:<math>\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \hat{\mathbf n} \left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{b} \right| \sin \theta</math>

식에서 <math>\theta</math>는 <math>\mathbf{a}</math>와 <math>\mathbf{b}</math>가 이루는 각을 나타내며, <math>\hat{\mathbf n}</math>은 <math>\mathbf{a}</math>와 <math>\mathbf{b}</math>에 공통으로 [[수직]]인 [[단위벡터]]를 나타낸다.

위 정의에서의 문제점은 <math>\mathbf{a}</math>와 <math>\mathbf{b}</math>에 공통으로 수직인 방향이 두개라는 점이다. 즉, <math>\mathbf{\hat n}</math>이 수직이면, <math>-\hat{\mathbf n}</math>도 수직이다.

어느 것을 두 벡터의 벡터곱으로 할 것인가는 [[벡터 공간]]의 '''[[방향 (다양체)|방향]]'''({{lang|en|orientation}})에 따라 달라진다. 오른손 좌표계에서는 <math>\mathbf{a} \times \mathbf{b}</math>는, <math>\mathbf{a, b, a \times b}</math>가 오른손 좌표계 방향을 따르도록 정의되고, 왼손좌표계에선 마찬가지로 이 순서의 세 벡터가 왼손 좌표계 방향을 따르도록 정의된다. 이와 같이 좌표계의 방향성에 의존하기 때문에, 두 (참) 벡터의 벡터곱은 참 벡터가 아니라 [[유사벡터]]다. (반대로, 참 벡터와 유사벡터의 벡터곱은 참 벡터다, 하지만 유사벡터와 유사벡터의 벡터곱은 수도벡터다.)

벡터곱을 그림으로 표현해 보면, 다음과 같다.

[[파일:Cross product vector.svg|섬네일|벡터곱의 정의]]

== 성질 ==
'''a''', '''b''', '''c''' ∈ '''R'''<sup>3</sup>, α ∈ '''R'''이라 하자.

* 반대칭성 : '''a'''×'''b''' = -'''b'''×'''a'''
:[[교환법칙]]이 성립하지 않음에 주의하자.

* 스칼라곱에 대한 선형성: (α'''a''')×'''b''' = '''a'''×(α'''b''') = α('''a'''×'''b''').

* 벡터의 덧셈에 대한 [[분배법칙]]: '''a'''×('''b''' + '''c''') = '''a'''×'''b''' + '''a'''×'''c'''

* 스칼라 [[삼중곱]] : <math>\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})=
\mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})=
\mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})=
\det(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})</math>

* 벡터 [[삼중곱]] 또는 [[라그랑주 공식]]: '''a'''×('''b'''×'''c''') = '''b'''('''a'''∙'''c''')-'''c'''('''a'''∙'''b''')

* 벡터곱의 크기: ||'''a'''×'''b'''||<sup>2</sup> = ('''a'''·'''a''')('''b'''·'''b''')-('''a'''·'''b''')<sup>2</sup>
;: ||'''a'''×'''b'''|| = ||'''a'''|| ||'''b'''|| sin θ
: 여기서 θ는 '''a'''로부터 '''b'''까지의 [[각도]]이다. 위 성질 때문에 벡터곱의 크기는 두 벡터로 만들어지는 [[평행사변형]]의 면적으로 생각할 수 있다.

* 야코비 항등식: '''a'''×('''b'''×'''c''') + '''b'''×('''c'''×'''a''') + '''c'''×('''a'''×'''b''') = '''0'''

* 수직성
: '''a'''×'''b''' ⊥ '''a''' 이고 '''a'''×'''b''' ⊥ '''b'''이다.

* 두 벡터의 평행성 확인
: '''a'''와 '''b'''가 모두 0벡터가 아닐 때, '''a'''×'''b''' = '''0'''인 것은 '''a'''와 '''b'''가 서로 평행인 것과 [[동치]]이다.

* 유클리드 공간의 단위벡터의 벡터곱
: [[유클리드 공간]]의 [[단위벡터]] '''i''', '''j''', '''k'''는 주어진 데카르트 좌표계에서 다음 관계를 만족한다.
:: '''i'''×'''j''' = '''k''', '''j'''×'''k''' = '''i''', '''k'''×'''i''' = '''j'''

:이 식을 이용해, 벡터곱의 좌표는 일부러 벡터 사이의 각을 계산할 필요 없이 다음과 같이 대수적으로 구할 수 있다.
:: <math>\mathbf a = a_1 \mathbf i + a_2 \mathbf j + a_3 \mathbf k = [a_1, a_2, a_3]</math>
:: <math>\mathbf b = b_1 \mathbf i + b_2 \mathbf j + b_3 \mathbf k = [b_1, b_2, b_3]</math>
:로 표기할 때,
:: <math>\mathbf a \times \mathbf b = [a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1]</math>

:위에 쓰인 좌표는 다음과 같이 [[행렬식]]을 이용하여 간단히 쓸 수 있다.
::<math>\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\det \begin{bmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{bmatrix}</math>

:따라서 세 (열,행)벡터로 이루어진 행렬의 행렬식은 다음과 같이 세 벡터의 [[스칼라곱]]과 벡터곱으로 쓸 수 있다.
::det('''a''','''b''','''c''') = '''a'''·('''b'''×'''c''').

*사원수와 벡터곱
: 벡터곱은 또한 [[사원수]]의 연산을 이용해 관찰할 수 있다. 위에 나온 벡터곱에 대한 '''i''', '''j''', '''k'''에 대한 관계가 사원수의 연산에서 ''i'', ''j'', ''k''가 만족하는 법칙과 같다는 것을 염두에 두면 다음 결과를 알 수 있다. 3차원 벡터 <math>[a_1, a_2, a_3]</math>가 사원수 <math>a_1 i + a_2 j + a_3 k</math>를 나타낸다고 하면, 두 벡터가 나타내는 두 사원수 간의 연산결과에서 실수부를 떼어낸 부분이 바로 두 벡터의 벡터곱과 일치하게 된다. (실수부는 두 벡터의 스칼라곱값 × &minus;1과 같게 된다.)

* [[리 대수]]
:분배성, 선형성, 야코비 항등식이 성립함으로써, '''R'''<sup>3</sup>에서의 벡터의 합과 벡터곱은 [[리 대수]] <math>\mathfrak{su}(2)</math>를 이룬다. 즉, 그 구조 상수는 [[레비치비타 기호]] <math>\epsilon^{ijk}</math>이다.

== 외적(外積, exterior product)과의 관계 ==
여기서, 굵은 글씨체의 지표는 [[추상지표표기법]]의 지표, 보통 글씨체의 지표는 [[좌표계]]의 [[성분]]을 의미한다.

3차원 [[유클리드 공간]] <math>\mathbf{R}^3</math>에서 [[직교좌표계]]의 성분으로 표현된 두 벡터 <math>w^\mathbf{a} = (w^1, w^2 ,w^3)</math>와 <math>v^\mathbf{a} = (v^1, v^2 ,v^3)</math>의 외적은 다음과 같다.

:<math>w^\mathbf{a} \otimes v^\mathbf{b} = w^\mathbf{a} v^\mathbf{b}</math>

여기서, 외적에 [[호지 쌍대]]를 취하면 [[벡터곱]]이 된다.
:<math>(w^\mathbf{c} \times v^\mathbf{d})^\mathbf{a} =  [*\left( w^\mathbf{c} v^\mathbf{d} \right) ]^{\mathbf{a}} = g^{\mathbf{ab}} \epsilon_{\mathbf{bcd}} v^\mathbf{c} w^\mathbf{d}</math>

성분을 비교해보면 마지막 항이 벡터곱의 성분이 되는 것을 볼 수 있다. 유클리드 공간의 경우, <math>g^{\mathbf{ab}} = \delta^{\mathbf{ab}}</math>이므로 (이 [[계량]]의 성분은 [[크로네커 델타]].) 이를 간단히 전개해보면,
:<math>\begin{align}
g^{\mathbf{ab}} \epsilon_{\mathbf{bcd}} v^\mathbf{c} w^\mathbf{d} & = \delta^{\mathbf{ab}} \epsilon_{\mathbf{bcd}} v^\mathbf{c} w^\mathbf{d} \\
& = \delta^{\mathbf{ab}} \left( \epsilon_{123} e^1_\mathbf{b} \wedge e^2_\mathbf{c} \wedge e^3_\mathbf{d} \right) v^\mathbf{c} w^\mathbf{d}
\end{align}</math> 
여기서 <math>e^1_\mathbf{b} \wedge e^2_\mathbf{c} \wedge e^3_\mathbf{d}</math>를 전개하면 항이 6개가 나오고, bcd의 순열 순서에 따라 각 항의 부호가 결정되게 된다. 즉,
:<math>
e^1_\mathbf{b} \wedge e^2_\mathbf{c} \wedge e^3_\mathbf{d}  = e^1_\mathbf{b} e^2_\mathbf{c}e^3_\mathbf{d} + e^1_\mathbf{c} e^2_\mathbf{d}e^3_\mathbf{b} + e^1_\mathbf{d} e^2_\mathbf{b}e^3_\mathbf{c} - e^1_\mathbf{d} e^2_\mathbf{c}e^3_\mathbf{b} - e^1_\mathbf{b} e^2_\mathbf{d}e^3_\mathbf{c} - e^1_\mathbf{c} e^2_\mathbf{b}e^3_\mathbf{d} 
</math>
이다. 그리고 여기에 <math>v^\mathbf{c} w^\mathbf{d}</math>를 곱하면
:<math>
( e^1_\mathbf{b} \wedge e^2_\mathbf{c} \wedge e^3_\mathbf{d} ) v^\mathbf{c} w^\mathbf{d} = 
e^1_\mathbf{b} (v^2 w^3  - v^3 w^2 ) 
+ e^2_\mathbf{b} (v^3 w^1  - v^1 w^3 ) 
+ e^3_\mathbf{b} (v^1 w^2 - v^2 w^1 )
</math>
되고 마지막으로 <math>\delta^{\mathbf{ab}} \epsilon_{123}</math>을 곱하면
:<math>g^{\mathbf{ab}} \epsilon_{\mathbf{bcd}} v^\mathbf{c} w^\mathbf{d} = 
e_1^\mathbf{b} (v^2 w^3  - v^3 w^2 ) 
+ e_2^\mathbf{b} (v^3 w^1  - v^1 w^3 ) 
+ e_3^\mathbf{b} (v^1 w^2 - v^2 w^1 )
</math>
이 된다. 보다시피 벡터곱의 성분 표현을 얻을 수 있다. 때문에 이 벡터곱을 외적이라 부르기도 한다.

== 응용 ==
벡터곱은 벡터 미분 연산인 [[회전 (벡터)|회전 (∇×)]]의 정의에 등장하고, [[자기장]]에서 움직이는 전하가 받는 힘을 기술하는 [[로런츠 힘]]의 공식에 등장하며, [[돌림힘]]과 [[각운동량]]의 정의에도 나온다.

== 고차원에서의 벡터곱 ==
7차원 벡터 공간의 벡터곱도 [[사원수]]의 방법을 [[팔원수]]에 적용하여 얻어질 수 있다.

7차원 공간의 벡터곱은 다음과 같은 성질을 3차원 공간의 벡터곱과 공유한다.

* 다음과 같은 의미에서 겹선형(bilinear)이다.
:: '''x'''×(''a'' '''y''' + ''b'' '''z''') = ''a'' '''x''' × '''y''' + ''b'' '''x''' × '''z''' and (''a'' '''y''' + ''b'' '''z''') × '''x''' = ''a'' '''y''' × '''x''' + ''b'' '''z''' × '''x'''
* 반가환성 (anti-commutative)
:: '''x'''×'''y''' + '''y'''×'''x''' = 0
* '''x'''와 '''y''' 모두에 수직
:: '''x'''·('''x'''×'''y''') = '''y'''·('''x'''×'''y''') = 0
* 야코비 항등식이 성립한다.
::'''x'''×('''y'''×'''z''') + '''y'''×('''z'''×'''x''') + '''z'''×('''x'''×'''y''') = '''0'''
* ||'''x'''×'''y'''||<sup>2</sup> = ||'''x'''||<sup>2</sup>||'''y'''||<sup>2</sup>-('''x'''·'''y''')<sup>2</sup>

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Vector product}}
* {{매스월드|id=CrossProduct|title=Cross product}}
* {{매스월드|id=VectorMultiplication|title=Vector multiplication}}
* {{매스월드|id=BAC-CABIdentity|title=BAC-CAB identity}}
* {{매스월드|id=ScalarTripleProduct|title=Scalar triple product}}
* {{매스월드|id=VectorTripleProduct|title=Vector triple product}}
* {{매스월드|id=VectorQuadrupleProduct|title=Vector quadruple product}}
* {{nlab|id=cross product}}
* {{수학노트|title=벡터의 외적(cross product)}}

== 같이 보기 ==
* [[오른손 법칙]]
* [[스칼라곱]]

{{선형대수학}}

[[분류:선형대수학]]
[[분류:이항연산]]
[[분류:해석기하학]]