베타 함수 문서 원본 보기

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[[해석학 (수학)|해석학]]에서 '''베타 함수'''(Β函數, {{llang|en|beta function}})는 [[감마 함수]]의 비로 나타내어지는 2변수 [[특수 함수]]이다. [[이항계수]]의 [[해석적 연속]]으로 생각할 수 있다.

== 정의 ==
'''베타 함수''' <math>\operatorname B(x,y)</math>는 다음과 같다.
:<math>\operatorname B(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt</math>
이때 x와 y는 [[실수부]]가 0보다 큰 [[복소수]]이다. [[감마 함수]]와 함께 '''오일러 적분'''(Euler integral)으로 부르기도 한다.

[[감마 함수]]가 [[계승 (수학)]]을 일반화한 것으로 생각할 수 있는 것처럼, 베타함수는 [[이항계수]]의 일반화로 생각할 수 있다.
:<math>\binom nk = \frac1{(n+1) \operatorname B(n-k+1, k+1)}</math>

== 성질 ==
* [[대칭성]]이 있다. 즉, <math>\mathrm{\Beta}(x,y) = \mathrm{\Beta}(y,x)</math>가 성립한다.
* <math>\operatorname B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}</math>, 여기에서 <math>\Gamma(x)</math>는 [[감마 함수]].
* <math>\operatorname B(x,y) = 2\int_0^{\pi/2}\sin^{2x-1}\theta\cos^{2y-1}\theta\,d\theta, \qquad \Re(x)>0,\ \Re(y)>0</math>
* <math>\operatorname B(x,y) = \int_0^\infty\frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,dt, \qquad \Re(x)>0,\ \Re(y)>0</math>
* <math>\operatorname B(x,y) = \frac{1}{y}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(y)_{n+1}}{n!(x+n)}</math>, 여기에서 <math>(x)_n = x(x - 1)(x - 2) ... (x - n + 1)</math>.

== 응용 ==
{{출처|날짜=2023-10-01|1=끈이론의 탄생에 큰 기여를 했다. 베타함수는 강력을 기술하는 방정식으로 사용되기도 한다.}}

== 같이 보기 ==
* [[가우스 상수]]

== 외부 링크 ==
* {{위키공용분류-줄}}
* {{eom|title=Beta-function}}
* {{eom|title=Incomplete beta-function}}
{{전거 통제}}

[[분류:특수 함수]]
[[분류:특수 초기하함수]]
[[분류:감마 함수 및 관련 함수]]