베지에 곡선 문서 원본 보기

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[[파일:Bézier 2 big.svg|섬네일|2차 베지어 곡선]]
[[파일:Bézier 3 big.svg|섬네일|3차 베지어 곡선]]

'''베지에 곡선''' 혹은 '''베지어 곡선'''(Bézier Curve)은 <math>n</math>개의 점으로부터 얻어지는 <math>n-1</math>차 곡선으로 수치 해석 분야에서 상당히 중요한 위치를 차지하고 있다. 특히 3차 베지에 곡선은 [[포스트스크립트]] 글꼴, [[메타폰트]](METAFONT), [[김프]] 등에서 부드러운 곡선을 생성하는 데에 이용되고 있으며, [[트루 타입]] 폰트에는 2차 베지에 곡선 알고리즘을 사용한다.

프랑스의 자동차 제조사 [[르노]]사의 기술자인 피에르 베지에가 [[1962년]] 자동차 몸체 디자인에 사용하면서부터 널리 알려졌다.

조절점 '''B'''<sub>0</sub>, '''B'''<sub>1</sub>, ..., '''B'''<sub>''N''-1</sub>에 대해 베지에 곡선은
:<math>\mathbf{P}(t) = \sum_{i=0}^{N-1} \mathbf{B}_i J_{ni}(t)</math>
로 쓸 수 있다. 여기서 ''J''<sub>''ni''</sub>(''t'')는 다음과 같다.
:<math>J_{ni}(t) = {n \choose i} t^i (1-t)^{n-i}</math>
''t'' 가 0부터 1까지 변화할 때,'''B'''<sub>0</sub>에서 시작하여 '''B'''<sub>''N''-1</sub>에서 끝나는 베지에 곡선을 그리게 되며, 일반적으로 곡선은 이외의 조절점을 지나지 않는다.

== 2차 베지에 곡선 ==

조절점 '''A''', '''B''', '''C'''에 대한, 2차 베지에 곡선은 다음과 같이 정의되는 점 '''P'''(''t'')의 자취이다.
: <math>\mathbf{P}(t) = (1 - t)^{2}\mathbf{A} + 2t(1 - t)\mathbf{B} + t^{2}\mathbf{C}\quad   \text{단 , }\  0\leq t \leq 1</math>

위 식을 바꾸어 보면 베지에 곡선의 기하학적 의미를 다음과 같이 설명할 수 있다.
: <math>\mathbf{P}(t) = (1 - t)\{(1 - t) \mathbf{A} + t \mathbf{B}\} + t\{(1 - t)\mathbf{B} + t \mathbf{C}\}\quad   \text{단 , }\ \  0\leq t \leq 1</math>
여기서 첫 번째 괄호로 묶인 (1 -t) '''A''' + t '''B'''는 '''A'''와 '''B'''를 잇는 선분을 t:(1-t) 로 나누는 내분점임을 알 수 있고, 두 번째 괄호로 묶인 점도 마찬가지로 '''B'''와 '''C'''의 t:(1-t) 내분점이다. 그리고 '''P'''('''t''')는 이 두 내분점을 다시 t:(1-t) 로 나누는 내분점이다.

2차 베지에 곡선은 다음과 같이 재귀적인 방식으로 구성될 수 있다:
# '''A''', '''B''', '''C'''를 각각 시작점, 조절점, 끝점이라고 하자.
# 선분 '''AB'''의 중점을 '''D'''라고 한다.
# 선분 '''BC'''의 중점을 '''E'''라고 한다.
# 선분 '''DE'''의 중점을 '''F'''라고 하면, '''F'''는 베지에 곡선상의 점이다.
# '''A''' = A''', '''B''' = '''D''', '''C ='''F''' 로 치환하여 위 조작을 반복한다.
# '''A''' = F''', '''B''' = '''E''', '''C ='''C''' 로 치환하여 위 조작을 반복한다. 
== 같이 보기 ==
* [[B-스플라인 곡선]]

{{전거 통제}}

[[분류:곡선]]
[[분류:컴퓨터 그래픽스]]
[[분류:보간법]]