베주 항등식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[수론]]에서 '''베주 항등식'''({{llang|en|Bézout’s identity}})은 두 정수의 [[최대공약수]]를 원래 두 수의 배수의 합으로 나타낼 수 있다는 정리다.

== 정의 ==
[[주 아이디얼 정역]] <math>R</math> 속의 원소 <math>a,b\in R</math>가 주어졌고, <math>d</math>가 <math>a</math>와 <math>b</math>의 [[최대공약수]]의 하나라고 하자.

그렇다면, 다음 등식을 성립하게 하는 원소 <math>m,n\in R</math>가 존재한다.
:<math>ma+nb=d</math>

{{증명}}
<math>R</math>가 [[주 아이디얼 정역]]이라고 하고, <math>a,b\in R</math>라고 하며 <math>d\in R</math>가 그 [[최대공약수]]의 하나라고 하자. <math>R</math>가 [[주 아이디얼 정역]]이므로 <math>Ra+Rb</math>는 주 아이디얼이다. 즉,
:<math>Ra+Rb=Rc</math>
인 <math>c\in R</math>가 존재한다. 최대공약수의 정의에 따라
:<math>Ra+Rb\subset Rd\subset Rc=Ra+Rb</math>
이다. 따라서
:<math>Ra+Rb=Rd</math>
이며,
:<math>ma+nb=d</math>
인 <math>m,n\in R</math>가 존재한다.
{{증명 끝}}

== 역사 ==
[[에티엔 베주]]가 증명하였다.

== 같이 보기 ==
* [[유클리드의 보조 정리]]
* [[산술의 기본 정리]]

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=BezoutsIdentity|title=Bézout's identity}}
* {{매스월드|id=BezoutNumbers|title=Bézout numbers}}

{{전거 통제}}

[[분류:디오판토스 방정식]]
[[분류:보조정리]]