베셀 부등식 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[함수해석학]]에서, '''베셀 부등식'''(Bessel不等式, {{llang|en|Bessel’s inequality}})은 [[내적 공간]] 속의 벡터의 [[정규 직교 집합|정규 직교 수열]]에 대한 계수가 만족시키는 [[부등식]]이다.

== 정의 ==
[[실수체]] 또는 [[복소수체]] <math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math> 위의 [[내적 공간]] <math>(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)</math> 속의 [[정규 직교 집합]] <math>B\subseteq V</math>가 주어졌다고 하자. '''베셀 부등식'''에 따르면, 임의의 벡터 <math>v\in V</math>에 대하여, 다음이 성립한다.<ref name="Athreya">{{서적 인용
|성1=Athreya
|이름1=Krishna B.
|성2=Lahiri
|이름2=Soumendra N.
|제목=Measure Theory and Probability Theory
|언어=en
|총서=Springer Texts in Statistics
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=2006
|isbn=978-0-387-32903-1
|issn=1431-875X
|doi=10.1007/978-0-387-35434-7
|zbl=1125.60001
}}</ref>{{rp|99}}<ref>{{서적 인용|url=https://books.google.com/books?id=QALoZC64ea0C|title=Beginning Functional Analysis|last=Saxe|first=Karen|date=2001-12-07|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9780387952246|language=en}}</ref>{{rp|82}}<ref>{{서적 인용|url=https://books.google.com/books?id=LBZEBAAAQBAJ|title=Foundations of Signal Processing|last=Vetterli|first=Martin|last2=Kovačević|first2=Jelena|last3=Goyal|first3=Vivek K.|date=2014-09-04|publisher=Cambridge University Press|isbn=9781139916578|language=en}}</ref>{{rp|83}}<ref>{{서적 인용|url=https://books.google.com/books?id=XF8W9W-eyrgC|title=Mathematical Analysis II|last=Zorich|first=Vladimir A.|last2=Cooke|first2=R.|date=2004-01-22|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9783540406334|language=en}}</ref>{{rp|508–509}}
:<math>\sum_{e\in B}|\langle v,e\rangle|^2\le\Vert v\Vert^2</math>
(특히, <math>\langle v,e\rangle\ne 0</math>인 <math>e\in B</math>는 오직 가산 개만이 존재한다.)
{{증명}}
만약 <math>B</math>가 유한 집합이라면, 내적의 쌍선형성과 정규 직교 집합의 정의에 따라 자명하게 성립한다.

만약 <math>B</math>가 ([[가산 집합|가산]] 또는 비가산) 무한 집합이라면, 베셀 부등식은 다음과 같이 얻을 수 있다. 임의의 유한 집합 <math>B'\subseteq B</math>에 대하여,
:<math>\begin{align}0
&\le\biggl\|v-\sum_{e\in B'}\langle v,e\rangle e\biggr\|^2\\
&=\|v\|^2-2\Re\biggl(\biggl\langle v,\sum_{e\in B'}\langle v,e\rangle e\biggr\rangle\biggr)+\biggl\|\sum_{e\in B'}\langle v,e\rangle e\biggr\|^2\\
&=\|v\|^2-2\Re\biggl(\sum_{e\in B'}|\langle v,e\rangle|^2\biggr)+\sum_{e\in B'}|\langle v,e\rangle|^2\\
&=\|v\|^2-2\sum_{e\in B'}|\langle v,e\rangle|^2+\sum_{e\in B'}|\langle v,e\rangle|^2\\
&=\|v\|^2-\sum_{e\in B'}|\langle v,e\rangle|^2
\end{align}</math>
{{증명 끝}}

만약 <math>V</math>가 [[힐베르트 공간]]일 경우, 베셀 부등식에서 항등식이 성립할 필요 충분 조건은 <math>B</math>가 <math>V</math>의 [[정규 직교 기저]]인 것이며, 이를 '''[[파르스발 항등식]]'''이라고 한다. 이 경우 항상
:<math>v=\sum_{e\in B}\langle v,e\rangle e</math>
이다. 반면, 만약 <math>B</math>가 [[정규 직교 기저]]가 아닐 경우 위 급수는 (베셀 부등식에 따라 부분합이 [[코시 열]]이므로) 수렴하지만, 합이 <math>v</math>가 아닐 수 있다.

== 역사 ==
[[프리드리히 베셀]]의 이름을 땄다.

== 같이 보기 ==
* [[코시-슈바르츠 부등식]]
* [[파르스발의 정리]]

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Bessel inequality}}
* {{매스월드|id=BesselsInequality|제목=Bessel’s inequality}}

[[분류:힐베르트 공간]]
[[분류:부등식]]