베셀 보정 문서 원본 보기

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[[통계학]]에서 베셀 보정(Bessel’s Correction)은 [[표본분산]]이나 [[표본 표준 편차|표본표준편차]]에 대한 식에서 [[표본 크기|표본크기]] n을 대신하여 n-1을 사용하는 것을 말한다. 이러한 방법은 [[모분산]]을 추정하는데에 있어서 편향(bias)를 보정하는 역할을 하며, 이를 통해 표본분산을 [[불편 추정량]](Unbiased estimator)이라 할 수 있다. 그러나 이러한 보정은 평균제곱오차를 증가시키는 문제점이 있다. 이러한 보정밥법은 [[Friedrich Bessel]]에 의해 처음 사용되었다.

모평균이 불분명한 상황에서 모분산을 추정할 때, 보정되지 않은 표본 분산은 표본평균에서 표본값의 편차의 제곱평균이다. 이 경우 분산은 표본 분산의 모분산의 [[편향 추정량]](Biased estimator)이다. 이 값에 다음 인자를 곱함으로써 모분산의 [[불편 추정량]](Unbiased estimator)을 얻을 수 있다.

: <math>\frac n {n-1}</math>

일부에서는 이 인자를 베셀 보정 인자(Bessel’s Correction)이라 부르기도 한다.

베셀 보정 인자를 표본자료의 [[자유도 (통계학)|자유도]](degrees of freedom)로 해석할 수도 있다. 표본크기가 n일 때, 이들의 편차 합은 0이므로 독립적인 편차(independent residuals)는 n-1개이다. 베셀 보정의 필요성에 대한 더 자세한 설명은 아래를 참조하도록 한다.

== 편향(bias)의 원인 ==
[[모평균]]이 1000이라고 가정하자. 통계를 취득하는 과정에서 이를 알 수 없으므로, 이는 무작위로 추출된 표본으로부터 추정해야한다. 만약 아래 다섯개의 표본을 취득하였다면 [[표본평균]]은 다음과 같다.

:<math> 1001,\quad 1003,\quad 1005,\quad 1000,\quad 1001 </math>
: <math>(mean) = \frac{1}{5} (1001 + 1003 + 1005 + 1000 + 1001) = 1002</math>

이는 [[모평균|취득할 수 없는 평균]]에 대한 ‘추정치’이므로 이를 이용하여 [[모분산]]을 추정하는데에 있어서 오류가 발생한다. 만약 정확한 [[모평균]] 값을 알고 있다면 [[모분산]]은 다음과 같이 추정할 수 있다.

: <math>\begin{align}
   {} & \frac{1}{5}\left[(1001 - 1000)^2 + (1003 - 1000)^2 + (1005 - 1000)^2 + (1000 - 1000)^2 + (1001 - 1000)^2\right] \\
  = {} & \frac{36}{5} = 7.2
\end{align}</math>

그러나 우리는 정확한 [[모평균]]을 알 수 없으며, 따라서 [[표본평균]]인 1002를 사용할 수밖에 없다.

: <math>\begin{align}
   {} & \frac{1}{5}\left[(1001 - 1002)^2 + (1003 - 1002)^2 + (1005 - 1002)^2 + (1000 - 1002)^2 + (1001 - 1002)^2\right] \\
  = {} & \frac{16}{5} = 3.2
\end{align}</math>

이는 전자의 [[모분산]] 추정치보다 훨씬 작은 값이며, 실제로 이러한 방식으로 취득한 [[모분산]]은 [[모평균]]과 같지 않을 때 실제보다 항상 작다. [[모분산]]을 [[모평균]]으로부터의 거리제곱합라고 해석하였을 때, [[모평균]]이 아닌 [[표본평균]]을 사용하였을 때 더 작은 거리제곱합을 가질 수 밖에 없다.

이는 [[대수학|대수]]적으로도 증명이 가능하다.
== 같이 보기 ==
* [[편의 추정량]]
* [[표준 편차]]
* [[옌센 부등식]]

[[분류:통계 분석]]
[[분류:추정 이론]]
[[분류:추정법]]