베르 집합 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[측도론]]에서 '''베르 집합'''(Baire集合, {{Llang|en|Baire set}})은 실수 값 [[연속 함수]]들을 모두 [[가측 함수]]로 만드는 가장 엉성한 [[시그마 대수]]이다. 구체적으로, [[Gδ 집합|G<sub>δ</sub>]] [[콤팩트 집합]]들로 생성된다. 베르 집합들의 [[시그마 대수]]는 [[보렐 시그마 대수]]의 부분 시그마 대수이다.

== 정의 ==
<math>K</math>가 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이라고 하자. 그렇다면, 다음 두 [[시그마 대수]]는 일치하며, 그 원소를 '''베르 집합'''이라고 한다.<ref name="Cohn">{{서적 인용|성=Cohn|이름=Donald L.|제목=Measure theory|판=2|총서=Birkhäuser Advanced Texts Basler Lehrbücher|issn=1019-6242|doi=10.1007/978-1-4614-6956-8|isbn=978-1-4614-6955-1|출판사=Birkhäuser언어=en}}</ref>{{rp|197, Exercise 7.2.8(a)}}
* <math>K</math> 속의 [[Gδ 집합|G<sub>δ</sub>]] [[닫힌집합]]들로 생성되는 [[시그마 대수]]
* [[연속 함수]] 공간 <math>\mathcal C^0(X,\mathbb R)</math>으로 생성되는 [[위상 함자|시작 시그마 대수]] (<math>\mathbb R</math>에는 [[보렐 시그마 대수]]를 부여한다). 즉, 임의의 [[연속 함수]] <math>X\to\mathbb R</math>가 [[가측 함수]]이게 하는, 가장 엉성한 [[시그마 대수]]
<math>K</math>의 베르 집합의 [[시그마 대수]]를 <math>\operatorname{Baire}(K)</math>로 표기하자.

일부 문헌에서는 이 정의를 [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]에 대하여 일반화하지만, 이 경우 문헌마다 정의가 다를 수 있다.

== 성질 ==
[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]의 베르 [[닫힌집합]]은 [[Gδ 집합|G<sub>δ</sub> 집합]]이다.<ref name="Cohn"/>{{rp|197, Exercise 7.2.11}}

=== 보렐 집합과의 관계 ===
임의의 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <math>K</math>에 대하여 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{Baire}(K)\subseteq\operatorname{Borel}(K)</math>
여기서 <Math>\operatorname{Borel}(K)</math>는 <math>K</math>의 [[보렐 시그마 대수]]이다. (이는 [[보렐 시그마 대수]]는 모든 [[Gδ 집합|G<sub>δ</sub>]] 집합으로 생성되는 [[시그마 대수]]이기 때문이다.)

[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]에 대하여, [[거리화 가능 공간]]인 것은 [[제2 가산 공간]]인 것과 [[동치]]이다. [[거리화 가능 공간]]에서 모든 [[닫힌집합]]은 [[Gδ 집합|G<sub>δ</sub> 집합]]이며, 이에 따라 [[거리화 가능]] [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]에서 베르 시그마 대수는 [[보렐 시그마 대수]]와 일치한다.<ref name="Cohn"/>{{rp|197, Exercise 7.2.8(b)}}

=== 곱공간 ===
임의의 두 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math>와 <math>Y</math>에 대하여, 다음이 성립한다.<ref name="Cohn"/>{{rp|226, Exercise 7.6.5}}
:<math>\operatorname{Baire}(X\times Y)=\sigma\left(\left\{S\times T\colon S\in\operatorname{Baire}(X),T\in\operatorname{Baire}(Y)\right\}\right)</math>

=== 보렐 시그마 대수 위의 측도 ===
[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math> 위의 유한 부호 측도
:<math>\mu\colon \operatorname{Baire}(X)\to \mathbb R</math>
들의 공간을 생각하자. 이는 [[노름]]
:<math>\|\mu\|=\mu_+(X)+\mu_-(X)</math>
에 의하여 [[실수 바나흐 공간]]을 이룬다. 여기서
:<math>\mu=\mu_+-\mu_-</math>
:<math>\mu_+,\mu_-\colon \operatorname{Borel}(X)\to[0,\infty)</math>
는 <math>\mu</math>의 조르당 분해이다. 이 바나흐 공간을 <math>\operatorname{BaireMeas}(X)</math>로 표기하자.

이제, 다음과 같은 범주를 생각하자.
* [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]과 [[연속 함수]]의 범주 <math>\operatorname{CompHausTop}</math>
* [[실수 바나흐 공간]]과 실수 [[유계 작용소]]의 범주 <math>\operatorname{Ban}_{\mathbb R}</math>
이 두 범주 사이에 다음과 같은 두 [[함자 (수학)|함자]]를 정의할 수 있다.
* [[실수 바나흐 공간]]을 그 [[연속 쌍대 공간]]에 대응시키는 함자
*:<math>(-)^*\colon\operatorname{Ban}_{\mathbb R}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Ban}_{\mathbb R}</math>
*:<math>(-)^*\colon V\mapsto V^*</math>
*:<math>(-)^*\colon (V\overset T\to W)\mapsto (\phi\mapsto \phi\circ T)</math>
* 함자 <math>\mathcal C^0(-,\mathbb R)\colon\operatorname{CompHausTop}\to\operatorname{Ban}_{\mathbb R}^{\operatorname{op}}</math>는 콤팩트 하우스도르프 공간을 그 위의 실수 값 [[연속 함수]]의 [[실수 바나흐 공간]]으로 대응시킨다. (이 경우 노름은 [[르베그 공간|L<sup>1</sup> 노름]]이다.)
*:<math>\mathcal C^0(-,\mathbb R)\colon X\mapsto \mathcal C^0(X,\mathbb R)</math>
*:<math>\mathcal C^0(-,\mathbb R)\colon(X\overset \phi\to Y)\mapsto (f\in\mathcal C^0(X,\mathbb R)\mapsto f\circ\phi)</math>
* 함자 <math>\operatorname{BaireMeas}\colon\operatorname{CompHausTop}\to\operatorname{Ban}_{\mathbb R}</math>는 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]을 그 베르 시그마 대수 위의 유한 부호 측도들의 [[실수 바나흐 공간]]에 대응시킨다.
*:<math>\operatorname{BaireMeas}\colon X\mapsto\operatorname{BorMeas}(X)</math>
*:<math>\operatorname{BaireMeas}\colon (X\overset f\to Y)\mapsto (\mu\mapsto\mu\circ f^{-1})</math>

'''리스-마르코프-가쿠타니 표현 정리'''(Riesz-Марков-[角谷]定理, {{llang|en|Riesz–Markov–Kakutani representation theorem}})에 따르면,<ref>{{저널 인용|jstor=2975760|제목=The Riesz representation theorem revisited|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1983-04_90_4/page/n58|이름=Donald G.|성=Hartig|doi=10.2307/2975760|저널=The American Mathematical Monthly|권=90|호=4|날짜=1983-04|쪽=277–280|언어=en}}</ref><ref name="Cohn"/>{{rp|198, Exercise 7.2.10}} [[자연 동형]]
:<math>\iota\colon\operatorname{BaireMeas}\to\mathcal (-)^*\circ C^0(-,\mathbb R)</math>
가 존재하며, 그 성분은 <Math>X\in\operatorname{CompHausTop}</math>에 대하여 다음과 같다.
:<math>\iota_X\colon \operatorname{BaireMeas}(X)\to \left(\mathcal C^0(-,\mathbb R)\right)^*</math>
:<math>\iota_X\colon \mu\mapsto (f\in\mathcal C^0(X,\mathbb R) \mapsto \int-Xf\,\mathrm d\mu)</math>
특히, <math>\iota_X</math>는 [[실수 바나흐 공간]]의 동형([[등거리 변환|등거리]] [[전단사 함수|전단사]] [[실수 선형 변환]])을 이룬다.

이 정리 때문에, 일부 문헌에서는 베르 시그마 대수 위의 유한 측도를 ‘베르 측도’라고 부르기도 한다.

== 역사 ==
[[르네루이 베르]]의 이름을 땄다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Baire set}}

{{전거 통제}}

[[분류:일반위상수학]]
[[분류:측도론]]