베르 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|준열린집합}}
[[일반위상수학]]에서 '''베르 공간'''(Baire空間, {{llang|en|Baire space}})은 가산 개의 [[조밀 집합|조밀]] [[열린집합]]들의 교집합이 조밀할 수 있도록, ‘충분한 수의’ 점들을 갖는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.

== 정의 ==
=== 쇼케 게임 ===
공집합이 아닌 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>가 주어졌을 때, 다음과 같은 2인(人) [[게임 이론|게임]]을 생각하자.
# 두 선수 갑(甲)과 을(乙)이 있다.
# 갑과 을은 수(手)를 두는 것을 반복하며, 갑이 먼저 수를 둔다. 여기서, 수를 둔다는 것은 공집합이 아닌 [[열린집합]] <math>U\subseteq X</math>를 고르는 것이다. 수들을 <math>(U_0,U_1,U_2,\dots)</math>라고 하자. (즉, 갑은 <math>U_0,U_2,U_4,\dots</math>를 두고, 을은 <math>U_1,U_3,U_5,\dots</math>를 둔다.) 각 선수는 이전에 놓인 모든 수(手)들을 알고 있으며, 또한 <math>U_0\supseteq U_1\supseteq U_2\supseteq\cdots</math>이어야 한다.
# 만약 <math>U_0\cap U_1\cap\cdots=\varnothing</math>라면 갑이 이기며, 아니라면 을이 이긴다.
이를 '''쇼케 게임'''({{llang|en|Choquet game}}) <math>\operatorname{Choq}(X)</math>이라고 한다.<ref name="Kechris">{{서적 인용|이름=Alexander Sotirios|성=Kechris|제목=Classical descriptive set theory|출판사=Springer-Verlag|날짜=1995|issn=0072-5285|doi=10.1007/978-1-4612-4190-4|isbn=978-1-4612-8692-9|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=156|zbl=0819.04002|mr=1321597|언어=en}}</ref>{{rp|43, Definition 8.10}}<ref name="CM">{{저널 인용|제목=A survey on topological games and their applications in analysis|zbl=1114.91024|성=Cao|이름=Jiling|성2=Moors|이름2=Warren B.|url=http://www.rac.es/ficheros/doc/00232.pdf|저널=Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales Serie A Matemáticas|권=100|호=1–2|날짜=2006|쪽=39–49|issn=1578-7303|언어=en|확인날짜=2016-09-03|보존url=https://web.archive.org/web/20150906050309/http://www.rac.es/ficheros/doc/00232.pdf|보존날짜=2015-09-06|url-status=dead}}</ref>{{rp|39–40, §1}}<ref name="Telgarsky">{{저널 인용|제목=Topological games: on the 50th anniversary of the Banach–Mazur game|저널=Rocky Mountain Journal of Mathematics|issn=0035-7596|권=17|호=2|날짜=1987|이름=Rastislav|성=Telgársky|doi=10.1216/RMJ-1987-17-2-227|mr=892457|언어=en}}</ref>{{rp|234, §4}}

공집합이 아닌 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>가 주어졌을 때, 다음과 같은 2인(人) [[게임 이론|게임]]을 생각하자.
# 두 선수 갑(甲)과 을(乙)이 있다.
# 갑과 을은 수(手)를 두는 것을 반복하며, 갑이 먼저 수를 둔다. 여기서, 수를 둔다는 것은 [[열린집합]]과 그 속의 점의 순서쌍 <math>(U,x)</math>를 고르는 것이다. 수들을 <math>((U_0,x_0),(U_1,x_1),(U_2,x_2),(U_3,x_3),\dots)</math>라고 하자. (즉, 갑은 <math>(U_0,x_0),(U_2,x_2),(U_4,x_4),\dots</math>를 두고, 을은 <math>(U_1,x_1),(U_3,x_3),(U_5,x_5),\dots</math>를 둔다.) 각 선수는 이전에 놓인 모든 수(手)들을 알고 있으며, 또한 <math>U_0\supseteq U_1\supseteq U_2\supseteq\cdots</math>이며 <math>x_0=x_1\land x_2=x_3\land\cdots</math>이어야 한다.
# 만약 <math>U_0\cap U_1\cap\cdots=\varnothing</math>라면 갑이 이기며, 아니라면 을이 이긴다.
이를 '''강한 쇼케 게임'''({{llang|en|strong Choquet game}}) <math>\operatorname{StrChoq}(X)</math>이라고 한다.

=== 베르 공간과 쇼케 공간 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 조건들은 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]을  '''베르 공간'''이라고 한다.
* ㈀ [[내부 (위상수학)|내부]]가 [[공집합]]인, 임의의 [[가산 집합|가산]] 개의 [[닫힌집합]]들의 [[합집합]]의 [[내부 (위상수학)|내부]]는 항상 [[공집합]]이다.
* ㈁ 임의의 가산 개의 [[조밀 집합|조밀]] [[열린집합]]들의 [[교집합]]은 [[조밀 집합]]이다.<ref name="Kechris"/>{{rp|41, Proposition 8.1(iii)}}
* ㈂ [[제1 범주 집합|제1 범주]] [[열린집합]]은 [[공집합]] 밖에 없다.<ref name="Kechris"/>{{rp|41, Proposition 8.1(i)}}
* ㈃ 모든 [[제1 범주 집합]]의 [[여집합]]이 [[조밀 집합]]이다.<ref name="Kechris"/>{{rp|41, Proposition 8.1(ii)}}
* ㈄ [[공집합]]이거나, 또는 쇼케 게임 <math>\operatorname{Choq}(X)</math>에서, 갑이 필승 전략을 갖지 않는다.<ref name="Kechris"/>{{rp|43, Theorem 8.11}}<ref name="CM"/>{{rp|41, Theorem 1}}
{{증명}}
조건 ㈀ ⇒ 조건 ㈂: <math>X</math>가 조건 ㈀을 만족시키며, <math>S\subseteq X</math>가 [[제1 범주 집합|제1 범주]] [[열린집합]]이라고 하자. <math>\textstyle S=\bigcup_{i=0}^\infty S_i</math>이며, <math>S_i</math>가 [[조밀한 곳이 없는 집합]]이라고 하자. 그렇다면 <math>\textstyle\varnothing=\operatorname{int}\left(\bigcup_{i=0}^\infty\operatorname{cl}S_i\right)\supseteq\operatorname{int}S=S</math>이다.

조건 ㈂ ⇒ 조건 ㈃: <math>X</math>가 조건 ㈀을 만족시키며, <math>S\subseteq X</math>가 [[제1 범주 집합]]이라고 하자. 그렇다면, <math>\operatorname{int}S</math>는 [[제1 범주 집합|제1 범주]] [[열린집합]]이다. 따라서, <math>\varnothing=\operatorname{int}S=\operatorname{cl}X\setminus S</math>이다. 따라서 <math>X\setminus S</math>는 [[조밀 집합]]이다.

조건 ㈃ ⇒ 조건 ㈁: <math>X</math>가 조건 ㈃을 만족시키며, <math>(U_i)_{i=0}^\infty</math>가 [[조밀 집합|조밀]] [[열린집합]]들의 열이라고 하자. 그렇다면, <math>\textstyle S=\bigcup_{i=0}^\infty X\setminus U_i</math>는 [[제1 범주 집합]]이다. 따라서, <math>\textstyle X\setminus S=\bigcap_{i=0}^\infty U_i</math>는 [[조밀 집합]]이다.

조건 ㈁ ⇒ 조건 ㈄: 쇼케 게임 <math>\operatorname{Choq}(X)</math>의 합법적인 수들로 구성된 [[나무 (집합론)|나무]]를 <math>T</math>로 쓰자. <math>\operatorname{Choq}(X)</math>에서 갑의 필승 전략 <math>\sigma</math>가 주어졌다고 하자. 즉, <math>\sigma</math>는 함수이며, 다음 두 조건을 만족시킨다.
* 만약 <math>(\sigma(),U_1,\sigma(U_1),U_3,\sigma(U_1,U_3),U_5,\dots,U_{2i-1})\in T</math>라면, <math>(\sigma(),U_1,\sigma(U_1),U_3,\sigma(U_1,U_3),U_5,\dots,U_{2i-1},\sigma(U_1,U_3,\dots,U_{2i-1}))\in T</math>
* 만약 <math>(\sigma(),U_1,\sigma(U_1),U_3,\sigma(U_1,U_3),U_5,\dots)</math>가 <math>T</math>의 [[극대 원소|극대]] [[사슬 (순서론)|사슬]]이라면, <math>\sigma()\cap U_1\cap\sigma(U_1)\cap U_3\cap\sigma(U_1,U_3)\cap U_5\cap\dots=\varnothing</math>
그렇다면, <math>\sigma()</math>에서 조건 ㈁이 거짓임을 보이면 족하다.
:<math>T'=\{(U_1,U_3,\dots,U_{2i-1})\colon(\sigma(),U_1,\sigma(U_1),U_3,\sigma(U_1,U_3),U_5,\dots,U_{2i-1})\in T\}</math>
라고 쓰자. [[초른 보조정리]]에 따라, 임의의 <math>\vec U=(U_1,U_3,\dots,U_{2i-1})\in T'</math>에 대하여, <math>\mathcal U(\vec U)</math>가 다음 두 조건을 만족시키는 [[극대 원소|극대]] 집합족이라고 하자.
* 임의의 <math>U_{2i+1}\in\mathcal U(\vec U)</math>에 대하여, <math>(U_1,U_3,\dots,U_{2i+1})\in T'</math>
* <math>\{\sigma(U_1,U_3,\dots,U_{2i+1})\colon U_{2i+1}\in\mathcal U(\vec U)\}</math>는 [[서로소 집합]]들의 집합이다.
그렇다면, <math>\textstyle\bigcup_{U_{2i+1}\in\mathcal U(\vec U)}\sigma(U_1,U_3,\dots,U_{2i+1})</math>은 <math>\sigma(U_1,U_3,\dots,U_{2i-1})</math>의 [[조밀 집합]]이다. (만약 <math>V</math>가 <math>\sigma(U_1,U_3,\dots,U_{2i-1})</math>의 [[공집합]]이 아닌 [[열린집합]]이며, <math>\textstyle\bigcup_{U_{2i+1}\in\mathcal U(\vec U)}\sigma(U_1,U_3,\dots,U_{2i+1})</math>와 [[서로소 집합|서로소]]라면, <math>\mathcal U(\vec U)\cup\{V\}</math>가 위 두 조건을 만족시키므로, 모순이다.) 이제,
:<math>T''=\{(U_1,U_3,\dots,U_{2i-1})\in T'\colon\forall j\colon U_{2j-1}\in\mathcal U((U_1,U_3,\dots,U_{2j-3}))\}</math>
:<math>W_i=\bigcup_{(U_1,U_3,\dots,U_{2i-1})\in T''}\sigma(U_1,U_3,\dots,U_{2i-1})</math>
라고 하자. 그렇다면, 각 <math>W_i</math>는 <math>W_{i-1}</math>의 [[조밀 집합]]이다. 따라서, 각 <math>W_i</math>는 <math>W_0=\sigma()</math>의 [[조밀 집합|조밀]] [[열린집합]]이다. 따라서, <math>\textstyle\bigcap_{i\in\mathbb N}W_i=\varnothing</math>을 보이면 족하다. [[귀류법]]을 사용하여, <math>\textstyle x\in\bigcap_{i\in\mathbb N}W_i</math>라고 가정하자. 그렇다면, [[나무 (집합론)|나무]] <math>T''</math>에서, 각 <math>i\in\mathbb N</math>에 대하여 <math>x\in\sigma(U_1,U_3,\dots,U_{2i-1})</math>인 [[극대 원소|극대]] [[사슬 (순서론)|사슬]] <math>(U_1,U_3,U_5,\dots)</math>을 취할 수 있다. 이 경우 <math>x\in\sigma()\cap\sigma(U_1)\cap\sigma(U_1,U_3)\cap\cdots</math>이며, 이는 <math>\sigma</math>가 갑의 필승 전략인 것과 모순이다.

조건 ㈄ ⇒ 조건 ㈀: <math>(F_i)_{i=0}^\infty</math>가 [[내부 (위상수학)|내부]]가 [[공집합]]인, <math>X</math>의 [[닫힌집합]]들의 열이지만, <math>\textstyle S=\bigcup_{i=0}^\infty F_i</math>의 [[내부 (위상수학)|내부]]가 [[공집합]]이 아니라고 하자. 그렇다면, 쇼케 게임 <math>\operatorname{Choq}(X)</math>에서 갑의 필승 전략을 찾으면 족하다. 지금까지 둔 수가 <math>(U_0,U_1,\dots,U_{2i-1})</math>일 때, 갑이 <math>U_{2i}=(\operatorname{int}S\cap U_0\cap\cdots\cap U_{2i-1})\setminus F_i</math>를 두는 갑의 전략을 생각하자. (<math>F_i</math>의 [[내부 (위상수학)|내부]]가 [[공집합]]이므로, 반드시 <math>U_{2i}\ne\varnothing</math>이다.) 그렇다면, <math>U_{2i-1}\subseteq\operatorname{int}S\setminus(F_0\cup F_1\cup\cdots\cup F_i)</math>이므로, <math>U_0\cap U_1\cap U_2\cap\cdots=\varnothing</math>이다. 즉, 이는 갑의 필승 전략이다.
{{증명 끝}}
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>가 [[공집합]]이거나, 또는 그 쇼케 게임에서 을이 필승 전략을 갖는다면, <math>X</math>를 '''쇼케 공간'''(Choquet空間, {{llang|en|Choquet space}})이라고 한다.<ref name="Kechris"/>{{rp|Definition 8.12}} [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>가 [[공집합]]이거나, 또는 그 강한 쇼케 게임에서 을이 필승 전략을 갖는다면, <math>X</math>를 '''강한 쇼케 공간'''(Choquet空間, {{llang|en|strong Choquet space}})이라고 한다. 따라서, 모든 쇼케 공간은 베르 공간이며, 모든 강한 쇼케 공간은 쇼케 공간이나, 그 역은 성립하지 않는다. 즉, 공집합이 아닌 위상 공간들은 그 쇼케 게임의 성질에 따라서 다음과 같이 세 종류로 분류된다.
{| class="wikitable" style="text-align: center"
! 쇼케 게임의 성질
| 갑이 필승 전략을 가짐 || 갑·을 아무도 필승 전략을 갖지 못함 || 을이 필승 전략을 가짐
|-
! 위상 공간의 성질
| 베르 공간이 아닌 공간 || 쇼케 공간이 아닌 베르 공간 || 쇼케 공간
|}

== 성질 ==
베르 공간의 [[공집합]]이 아닌 [[열린집합]]은 [[제1 범주 집합]]이 아니다. 특히, [[공집합]]이 아닌 베르 공간의 [[제1 범주 집합]]의 [[여집합]]은 [[공집합]]이 아니다.

=== 함의 관계 ===
'''베르 범주 정리'''(Baire範疇定理, {{llang|en|Baire category theorem}})는 어떤 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이 베르 공간이 될 [[충분조건]]을 제시하는 두 개의 정리를 일컫는다.<ref>{{서적 인용|저자=박대희|공저자=안승호|제목=위상수학|출판사=경문사|날짜=2009|언어=ko}}</ref>{{rp|415–417}}
* ('''제1 베르 범주 정리''') [[완비 거리화 가능 공간]]은 베르 공간이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|296}}<ref name="Rudin">{{서적 인용
|성=Rudin
|이름=Walter
|제목=Real and Complex Analysis
|언어=en
|판=3판
|출판사=McGraw-Hill
|날짜=1987
|isbn=978-0-07-054234-1
|mr=0924157
|zbl=0925.00005
|url=http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542341.html
|확인날짜=2014-10-06
|보존url=https://web.archive.org/web/20141006084256/http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542341.html
|보존날짜=2014-10-06
|url-status=dead
}}</ref>{{rp|97}}<ref>{{서적 인용|저자=유정옥|제목=알기쉬운 위상수학|출판사=교우사|날짜=2006|언어=ko}}</ref>{{rp|345}}<ref name="Kechris"/>{{rp|41, Theorem 8.4}}<ref name="Bredon">{{서적 인용|이름=Glen E.|성=Bredon|날짜=1993|제목=Topology and geometry|doi=10.1007/978-1-4757-6848-0|출판사=Springer-Verlag|issn=0072-5285|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=139|isbn=978-0-387-97926-7|언어=en}}</ref>{{rp|57, Theorem I.17.1}}
* ('''제2 베르 범주 정리''') [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]은 베르 공간이다.<ref name="김승욱">{{서적 인용|저자=김승욱|제목=위상수학: 집합론을 중심으로|출판사=경문사|판=2판|날짜=2004|url=http://kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=2604|isbn=89-7282-587-5|언어=ko|access-date=2016-06-11|archive-date=2014-11-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20141129022435/http://kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=2604|url-status=}}</ref>{{rp|234}}<ref name="Kechris"/>{{rp|41, Theorem 8.4}}<ref name="Bredon"/>{{rp|57, Theorem I.17.1}}

<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''제1 베르 범주 정리의 증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
[[완비 거리 공간]] <math>(X,d)</math> 속의 [[조밀 집합|조밀]] [[열린집합]]들의 열 <math>(U_i)_{i=0}^\infty</math> 및 임의의 점 <math>x_0\in X</math> 및 양의 실수 <math>r_0\in\mathbb R^+</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
:<math>x\in B(x_0,r_0)\cap\textstyle\bigcap_{i=0}^\infty U_i\ne\varnothing</math>
인 <math>x\in X</math>가 존재함을 보이면 족하다.

이제, <math>U_i</math>는 모두 [[조밀 집합|조밀]] [[열린집합]]이므로
*<math>\operatorname{cl}(B(x_{i+1},r_{i+1}))\subset U_i\cap B(x_i,r_i)</math>
*<math>r_{i+1}\le 1/(i+1)</math>
인 [[점렬]] <math>(x_i)_{i=0}^\infty\subseteq X</math> 및 양의 실수열 <math>(r_i)_{i=0}^\infty\subseteq\mathbb R^+</math>을 고를 수 있다.

그렇다면, <math>(x_i)_{i=0}^\infty</math>는 [[코시 열]]이므로 [[극한]] <math>\textstyle\lim_{i\to\infty}x_i=x\in X</math>를 가지며, 정의에 따라
:<math>x\in B(x_0,r_0)\cap U_0\cap U_1\cap\cdots</math>
이다.
</div></div>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''제2 베르 범주 정리의 증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
[[국소 콤팩트 공간|국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math>의 [[조밀 집합|조밀]] [[열린집합]]들의 열 <math>(U_i)_{i=0}^\infty</math> 및 임의의 [[공집합]]이 아닌, 그 [[폐포 (위상수학)|폐포]]가 [[콤팩트 집합]]인 [[열린집합]] <math>\varnothing\ne V_0\subseteq X</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>V_0\cap U_0\cap U_1\cap\cdots</math>가 [[공집합]]이 아님을 보이면 족하다.

이제, [[국소 콤팩트 공간|국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]에서 모든 점은 [[상대 콤팩트]] [[근방]]들로 구성된 [[국소 기저]]를 가지므로, 다음 조건들을 만족시키는 [[열린집합]]들의 열 <math>(V_i)_{i=0}^\infty</math>을 고를 수 있다.
* <math>\operatorname{cl}V_{i+1}\subseteq V_i\cap U_i</math>
* <math>\operatorname{cl}V_{i+1}</math>는 [[콤팩트 집합]]이다.
* <math>V_{i+1}</math>는 [[공집합]]이 아니다.
이제 [[칸토어 교점 정리]]에 의하여
:<math>\bigcap_{i=0}^\infty\operatorname{cl}V_i\subseteq \textstyle V_0\cap U_0\cap U_1\cap\cdots</math>
는 [[공집합]]이 아니다.
</div></div>
제1 베르 범주 정리를 증명하기 위해서는 [[의존적 선택 공리]]가 필요하다.<ref>{{저널 인용|성=Blair|이름=Charles E.|날짜=1977|제목=The Baire category theorem implies the principle of dependent choices|저널=Bulletin de l’Académie Polonaise des Sciences. Série des Sciences Mathématiques, Astronomiques et Physiques|권=25|호=10|쪽=933–934|issn=0001-4117|zbl=0377.04011|언어=en}}</ref>

사실, 모든 [[완비 거리화 가능 공간]]과 모든 [[국소 콤팩트]] [[차분한 공간]]<ref name="de Brecht">{{저널 인용|이름1=Matthew|성1=de Brecht|이름2=Jean|성2=Goubault-Larrecq|이름3=Xiaodong|성3=Jia|이름4=Zhenchao|성4=Lyu|제목=Domain-complete and LCS-complete spaces|언어=en|저널=Electronic Notes in Theoretical Computer Science|권=345|쪽=3–35|날짜=2019|issn=1571-0661|doi=10.1016/j.entcs.2019.07.014|mr=4025962|arxiv=1902.11142}}</ref>{{rp|12, Proposition 9.1}}은 강한 쇼케 공간이다. (“[[국소 콤팩트]] [[차분한 공간]]”에서, “국소 콤팩트”는 모든 점이 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[국소 기저]]를 갖는 조건을 일컫는다.) 즉, 다음이 성립한다.
{| style="text-align: right"
| || || [[완비 거리화 가능 공간]]
|-
| || || ||⇘
|- 
| || || || || 강한 쇼케 공간 || ⇒ || 쇼케 공간 || ⇒ || 베르 공간
|-
| || || ||⇗
|-
| [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] || ⇒ || [[국소 콤팩트]] [[차분한 공간]]
|}
{{증명|부제=국소 콤팩트 차분한 공간은 강한 쇼케 공간}}
[[국소 콤팩트]] [[차분한 공간]] <math>X</math>의 쇼케 게임을 생각하자. 갑이 둔 수가 <math>(U,x)</math>일 때,
:<math>x\in V\subseteq K\subseteq U</math>
인 [[콤팩트 집합|콤팩트]] [[포화 집합]] <math>K</math>와 [[열린집합]] <math>V</math>를 찾을 수 있다. 이 경우 을이 <math>(V,x)</math>를 수로 둔다고 하자. 을이 이러한 전략을 취했을 때, 갑과 을이 둔 수들의 [[교집합]]은 어떤 [[콤팩트 집합|콤팩트]] [[포화 집합]]의 하강 열의 [[교집합]]과 같다. [[차분한 공간]]에 대한 [[칸토어 교점 정리]]에 의하여, 이는 [[공집합]]이 아니다. 즉, 이 전략은 을의 필승 전략이다.
{{증명 끝}}

=== 연산에 대한 닫힘 ===
베르 공간의 임의의 [[열린집합]]은 베르 공간이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|297}}<ref name="Kechris"/>{{rp|41, Proposition 8.3}} 마찬가지로, 쇼케 공간의 [[열린집합]]은 쇼케 공간이다.<ref name="Kechris"/>{{rp|44, Exercise 8.13}} 그러나 베르 공간의 [[닫힌집합]]은 베르 공간이 아닐 수 있다.
{{증명|부제=베르 공간의 열린집합은 베르 공간}}
<math>X</math>가 베르 공간이며 <math>U\subseteq X</math>가 [[열린집합]]이며, <math>(U_i)_{i\in\mathbb N}</math>이 <math>U</math>의 [[조밀 집합|조밀]] [[열린집합]]의 열이라고 하자. 그 교집합이 <math>U</math>의 [[조밀 집합]]임을 보이면 족하다.
<math>(U_i\cup(X\setminus\operatorname{cl}U))_{i\in\mathbb N}</math>은 <math>X</math>의 [[조밀 집합|조밀]] [[열린집합]]의 열이다. (이는
:<math>\operatorname{cl}(U_i\cup(X\setminus\operatorname{cl}U))=\operatorname{cl}U_i\cup\operatorname{cl}(X\setminus\operatorname{cl}U)=\operatorname{cl}\operatorname{cl}U_i\cup\operatorname{cl}(X\setminus\operatorname{cl}U)\supseteq\operatorname{cl}U\cup(X\setminus\operatorname{cl}U)=X</math>
이기 때문이다.) 따라서 그 교집합
:<math>\bigcap_{i\in\mathbb N}U_i\cup X\setminus\operatorname{cl}U</math>
은 <math>X</math>의 [[조밀 집합]]이다. 따라서
:<math>\bigcap_{i\in\mathbb N}U_i</math>
는 <math>U</math>의 [[조밀 집합]]이다 (<math>\operatorname{cl}(X\setminus\operatorname{cl}U)\subseteq X\setminus U</math>).
{{증명 끝}}
베르 공간 조건은 국소적이다. 즉, 위상 공간 X의 모든 점들이 베르 [[근방]]을 가질 때 X도 베르 공간이 된다.<ref name="Munkres"/>{{rp|299}}

베르 공간들의 [[곱공간]]은 베르 공간이 아닐 수 있다. 그러나 쇼케 공간들의 곱공간은 항상 쇼케 공간이다.<ref name="Kechris"/>{{rp|44, Exercise 8.13}}

<math>X</math>가 베르 공간, <math>Y</math>가 [[거리화 가능 공간]]이라 하자. 이때 [[연속 함수]]들의 열 <math>f_i\colon X\to Y</math>(<math>i\in\mathbb N</math>)이 어떤 함수 <math>f\colon X\to Y</math>로 [[점별 수렴]]한다면, <math>f</math>가 [[연속 함수]]인 점들의 집합은 <math>X</math>의 [[조밀 집합]]이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|297}}

== 예 ==
[[공집합]]은 (자명하게) 베르 공간이다.

[[무리수]] 집합은 베르 공간이다.<ref name="Munkres">{{서적 인용
|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page
|이름=James R.
|성=Munkres
|저자링크=제임스 멍크레스
|제목=Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice Hall
|연도=2000
|isbn=978-0-13-181629-9
|zbl=0951.54001
|mr=0464128
}}</ref>{{rp|299}}

모든 [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[국소 유클리드 공간]]은 ([[국소 콤팩트 공간]]이므로) 베르 공간이다.

모든 [[폴란드 공간]]은 ([[완비 거리화 가능 공간]]이므로) 베르 공간이다.

=== 연속 함수 공간 ===
[[연속 함수]]의 집합 <math>\mathcal C([0, 1],\mathbb R)</math> 위에 [[거리 함수]] <math>\textstyle d(f, g)=\sup_{x\in[0,1]}\{|f(x) - g(x)|\}</math>를 주면, 이는 [[완비 거리 공간]]이며, 따라서 베르 공간이다.

적어도 한 점에서 미분 가능한 <math>[0,1]\to\mathbb R</math> [[연속 함수]]의 집합은 <math>\mathcal C([0,1],\mathbb R)</math> 안에서 [[제1 범주 집합]]임을 보일 수 있다. 따라서, 그 [[여집합]]은 [[공집합]]이 아니다. 이는 어떤 점에서도 [[미분 가능]]하지 않은 함수의 예이다.<ref name="김승욱"/>{{rp|238–240}}

=== 유리수에서만 연속인 함수의 부재 ===
실수선 <math>\mathbb R</math>는 [[완비 거리 공간]]이자 [[국소 콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]이며, 따라서 베르 공간이다.

<math>A\subseteq\mathbb R</math>가 [[조밀 집합]]이며, 함수 <math>f\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>가 <math>A</math>에서 [[연속 함수]]라고 하자. 이 경우, <math>f</math>가 연속이 아닌 실수들의 집합은 [[제1 범주 집합]]이다. [[무리수]]의 집합은 [[제1 범주 집합]]이 아니므로, 유리수에서만 연속인 함수는 존재하지 않는다.<ref name="김승욱"/>{{rp|237–238}}

=== 극대 원소 집합 ===
[[연속 원순서 집합|연속]] [[dcpo]] <math>(X,\le)</math> 위에 [[스콧 위상]]을 부여하였을 때, 그 [[극대 원소]]의 집합 <math>\max X</math>는 강한 쇼케 공간이며, 특히 베르 공간이다.<ref name="Martin">{{저널 인용
|이름1=Keye
|성1=Martin
|제목=Topological games in domain theory
|url=https://archive.org/details/sim_topology-and-its-applications_2003-03-15_129_2/page/n78
|언어=en
|저널=Topology and its Applications
|권=129
|호=2
|쪽=177–186
|날짜=2003
|issn=0166-8641
|doi=10.1016/S0166-8641(02)00147-5
|mr=1961398
|zbl=1026.06012
}}</ref>{{rp|182, Theorem 5.1}}

== 역사 ==
실수선 위의 베르 범주 정리는 미국의 수학자 윌리엄 포그 오스굿({{llang|en|William Fogg Osgood}}, 1864~1943)이 1896년 8월에 최초로 발표하였다.<ref>{{저널 인용|이름=William Fogg|성=Osgood|제목=Non-uniform convergence and the integration of series term by term|저널=American Journal of Mathematics|권=19|호=2|날짜=1897-04|쪽=155–190|jstor=2369589|doi=10.2307/2369589|issn=0002-9327|jfm=28.0221.01|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|mr=1502274|성=Osgood|이름=William Fogg|제목=Note on the functions defined by infinite series whose terms are analytic functions of a complex variable; with corresponding theorems for definite integrals|저널=Annals of Mathematics|권=3|날짜=1901|호=1–4|쪽=25–34|jstor=1967630|doi=10.2307/1967630|issn=0003-486X|jfm=32.0399.01|언어=en}}</ref>

이후 이와 독자적으로 프랑스의 수학자 [[르네루이 베르]]가 1899년 박사 학위 논문에서 [[유클리드 공간]]에서의 베르 범주 정리와 [[제1 범주 집합]]의 개념을 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=R.|성=Baire|저자링크=르네루이 베르|제목=Sur les fonctions de variables réelles|저널=Annali di Matematica Pura ed Applicata|권=3|쪽=1–123|날짜=1899|jfm=30.0359.01|doi=10.1007/BF02419243|issn=0373-3114|언어=fr}}</ref><ref name="Jones">{{저널 인용|mr=1640007|성=Jones|이름=Sara Hawtrey|제목=Applications of the Baire category theorem|저널=Real Analysis Exchange|권=23|호=2|날짜=1999|쪽=363–394|url=http://projecteuclid.org/euclid.rae/1337001353|issn=0147-1937|zbl=0943.26013|언어=en}}</ref>

쇼케 게임은 귀스타브 쇼케({{llang|fr|Gustave Choquet}}, 1915~2006)가 1958년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Gustave|성=Choquet|제목=Une classe régulière d’espaces de Baire|저널=Comptes Rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences|권=246|날짜=1958-01-13|쪽=218-220|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3198s/f218.item|언어=fr}}</ref><ref>{{서적 인용|mr=0250011|last=Choquet|first= Gustave|title=Lectures on analysis. Volume I: integration and topological vector spaces|publisher= W. A. Benjamin |year=1969|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Baire space}}
* {{eom|title=Baire theorem}}
* {{eom|title=Banach-Mazur game}}
* {{매스월드|id=BaireSpace|title=Baire space}}
* {{매스월드|id=BaireCategoryTheorem|title=Baire category theorem}}
* {{nlab|id=Baire space}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Baire_space|제목=Baire space|웹사이트=Topospaces|언어=en|확인날짜=2016-06-11|보존url=https://web.archive.org/web/20160701173820/http://topospaces.subwiki.org/wiki/Baire_space|보존날짜=2016-07-01|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Baire_property_is_open_subspace-closed|제목=Baire property is open subspace-closed|웹사이트=Topospaces|언어=en|확인날짜=2016-06-11|보존url=https://web.archive.org/web/20160606100639/http://topospaces.subwiki.org/wiki/Baire_property_is_open_subspace-closed|보존날짜=2016-06-06|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Completely_metrizable_implies_Baire|제목=Completely metrizable implies Baire|웹사이트=Topospaces|언어=en|확인날짜=2016-06-11|보존url=https://web.archive.org/web/20160527175250/http://topospaces.subwiki.org/wiki/Completely_metrizable_implies_Baire|보존날짜=2016-05-27|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Locally_compact_Hausdorff_implies_Baire|제목=Locally compact Hausdorff implies Baire|웹사이트=Topospaces|언어=en|확인날짜=2016-06-11|보존url=https://web.archive.org/web/20160528175539/http://topospaces.subwiki.org/wiki/Locally_compact_Hausdorff_implies_Baire|보존날짜=2016-05-28|url-status=dead}}
* {{웹 인용|제목=Definition: Baire space (topology)|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Baire_Space_(Topology)|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2016-06-11|보존url=https://web.archive.org/web/20140916012644/https://proofwiki.org/wiki/Definition:Baire_Space_(Topology)|보존날짜=2014-09-16|url-status=dead}}
* {{웹 인용|제목=Equivalence of definitions of Baire space|url=https://proofwiki.org/wiki/Equivalence_of_Definitions_of_Baire_Space|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2016-06-11|보존url=https://web.archive.org/web/20170709150812/https://proofwiki.org/wiki/Equivalence_of_Definitions_of_Baire_Space|보존날짜=2017-07-09|url-status=dead}}
* {{웹 인용|제목=Baire space iff open sets are non-meager|url=https://proofwiki.org/wiki/Baire_Space_iff_Open_Sets_are_Non-Meager|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2016-06-11|보존url=https://web.archive.org/web/20150619172310/https://proofwiki.org/wiki/Baire_Space_iff_Open_Sets_are_Non-Meager|보존날짜=2015-06-19|url-status=dead}}
* {{웹 인용|제목=Baire category theorem|url=https://proofwiki.org/wiki/Baire_Category_Theorem|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2016-06-11|보존url=https://web.archive.org/web/20140915074307/https://proofwiki.org/wiki/Baire_Category_Theorem|보존날짜=2014-09-15|url-status=dead}}
* {{웹 인용|제목=Baire-Osgood theorem|url=https://proofwiki.org/wiki/Baire-Osgood_Theorem|웹사이트=ProofWiki|언어=en|확인날짜=2016-06-11|보존url=https://web.archive.org/web/20140912192014/https://proofwiki.org/wiki/Baire-Osgood_Theorem|보존날짜=2014-09-12|url-status=dead}}
* {{웹 인용|제목=The Baire category theorem and its Banach space consequences|이름=Terry|성=Tao|저자링크=테런스 타오|웹사이트=What’s new|날짜=2009-02-01|url=https://terrytao.wordpress.com/2009/02/01/245b-notes-9-the-baire-category-theorem-and-its-banach-space-consequences/|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://dantopology.wordpress.com/2012/08/12/baire-category-theorem-and-the-finite-intersection-property/|제목=Baire category theorem and the finite intersection property|날짜=2012-08-12|이름=Dan|성=Ma|웹사이트=Dan Ma’s Topology Blog|언어=en|확인날짜=2016-06-11|보존url=https://web.archive.org/web/20160423155009/https://dantopology.wordpress.com/2012/08/12/baire-category-theorem-and-the-finite-intersection-property/|보존날짜=2016-04-23|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://dantopology.wordpress.com/2012/06/02/a-question-about-the-rational-numbers/|제목=A question about the rational numbers|날짜=2012-06-02|이름=Dan|성=Ma|웹사이트=Dan Ma’s Topology Blog|언어=en|확인날짜=2016-06-11|보존url=https://web.archive.org/web/20160409072445/https://dantopology.wordpress.com/2012/06/02/a-question-about-the-rational-numbers/|보존날짜=2016-04-09|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://dantopology.wordpress.com/2012/06/08/the-banach-mazur-game/|제목=The Banach-Mazur game|날짜=2012-06-08|이름=Dan|성=Ma|웹사이트=Dan Ma’s Topology Blog|언어=en|확인날짜=2016-09-03|보존url=https://web.archive.org/web/20160910031309/https://dantopology.wordpress.com/2012/06/08/the-banach-mazur-game/|보존날짜=2016-09-10|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://dyinglovegrape.wordpress.com/2012/01/05/baire-category-theorem/|제목=Baire category theorem|날짜=2012-01-05|이름=James|성=Salvatore|웹사이트=Dyinglovegrape|언어=en|확인날짜=2016-09-03|보존url=https://web.archive.org/web/20161014024306/https://dyinglovegrape.wordpress.com/2012/01/05/baire-category-theorem/|보존날짜=2016-10-14|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/129666/classic-applications-of-baire-category-theorem|제목=Classic applications of Baire category theorem|출판사=Math Overflow|언어=en}}

[[분류:위상 공간의 성질]]