베르트랑 공준 문서 원본 보기

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'''베르트랑 공준'''({{llang|en| Bertrand's postulate}}), '''베르트랑-체비쇼프 정리'''({{llang|en|Bertrand-Chebyshev theorem}}), 혹은 '''베르트랑 가설'''은 [[정수론]]에서 [[소수 (수론)|소수]]들의 분포에 관한 정리다. 이에 따르면, 두 자연수 ''n''과 2''n'' 사이에 적어도 하나의 소수가 존재한다.

== 정의 ==
'''베르트랑 공준'''은 다음과 같다. 임의의 정수 <math>n\ge2</math>에 대하여,
:<math>n<p<2n</math>
인 소수 <math>p</math>가 항상 존재한다.

== 역사 ==
[[프랑스]]의 수학자 [[조제프 베르트랑]]({{llang|Fr|Joseph Louis François Bertrand}})이 1845년에 처음으로 추측하여 '''베르트랑 추측'''이라는 이름을 얻었다. 베르트랑이 처음으로 이 명제에 대한 추측을 내놓았을 때 그는 3백만보다 작은 모든 자연수에 대한 계산을 덧붙였으나 증명은 하지 못했다.

5년 뒤 [[1850년]]에 [[파프누티 체비쇼프]]가 이 명제를 완전하게 증명하였다. 그럼에도 불구하고 관례적으로 '베르트랑 공준'이라 불린다. 1919년에 [[스리니바사 라마누잔]]이 [[감마 함수]]를 사용하여 더 간단한 증명을 발표하였고, 1932년에 [[에르되시 팔]]은 [[이항계수]]와 [[체비쇼프 함수]]를 사용한, 라마누잔 증명보다 더 간단한 증명을 발표하였다.

== 확장된 결과들 ==
* [[영국]]의 수학자 [[제임스 조지프 실베스터]]는 <math>k</math>개의 연속된 <math>k</math>보다 큰 정수들의 곱은 적어도 하나의 <math>k</math>보다 큰 소수로 나누어떨어진다는 명제를 증명했다. 이를 [[실베스터 정리]]라고 한다.
* 1934년에 [[헝가리]]의 수학자 [[에르되시 팔]]은 임의의 자연수 <math>k</math>에 대하여, 적당한 자연수 <math>N</math>이 존재하여 <math>N</math>보다 큰 임의의 자연수 <math>n</math>과 <math>2n</math> 사이에는 적어도 <math>k</math>개의 소수가 존재한다는 명제를 증명했다. 이를 [[에르되시 정리(소수 분포)|에르되시 정리]]라고 한다.
* 1952년에 [[일본]]의 수학자 [[나구라 지쓰로]]는 <math>24</math>보다 큰 모든 자연수 <math>n</math>에 대하여 <math>n</math>과 <math>\frac{6}{5}n</math> 사이에는 적어도 하나의 소수가 존재한다는 명제를 증명했다.
* 1998년에 [[프랑스]]의 수학자 [[피에르 뒤자르]](Pierre Dusart)는 <math>2010760</math>보다 큰 모든 자연수 <math>n</math>에 대하여 <math>n</math>과 <math>\frac{16598}{16597}n</math> 사이에 적어도 하나의 소수가 존재한다는 명제를 증명했다.

== 같이 보기 ==
* [[소수 간극]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|이름=줄리언|성=해빌|제목=오일러 상수 감마|출판사=승산|날짜=2008|쪽=62-63}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Bertrand postulate}}
* {{eom|title=Chebyshev theorems on prime numbers}}

[[분류:소수에 관한 정리]]
[[분류:대수학 정리]]