베르트랑-디케-퓌죄 정리 문서 원본 보기

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'''베르트랑-디케-퓌죄 정리'''(Bertrand-Diquet-Puiseux theorem)는 [[미분기하학]]의 [[정리]]로, 임의의 [[곡면]]에서 [[길이]] 혹은 [[넓이]]의 양과 [[가우스 곡률]]을 연결하는 중요한 결과를 담고 있다. [[프랑스]] [[수학자]] [[조제프 루이 프랑수아 베르트랑]](Joseph Louis François Bertrand), C.F. 디케(Diquet), [[빅토르 퓌죄]](Victor Puiseux)의 이름이 붙어 있다.

== 공식화 ==
p를 어떤 매끄러운 곡면 M 상의 임의의 점이라 하자. p를 시점으로 한 길이가 r인 [[측지선|측지선분]]들의 다른 끝점의 자취를 [[반지름]]이 r인 '''측지원'''(geodesic circle)이라 하면, 측지원은 [[폐곡선]]을 형성하므로 그 둘레와 측지원이 둘러싼 넓이를 생각할 수 있다. 이제 p를 중심으로 하는 반지름이 r인 측지원의 둘레를 C(r), 넓이를 A(r)이라 할 때, p에서 곡선의 가우스 곡률 K(p)에 대해 다음 공식이 성립한다.

* <math>K(p) = \lim_{r\to 0^+} 3\frac{2\pi r-C(r)}{\pi r^3} = \lim_{r\to 0^+}12\frac{\pi r^2-A(r)}{\pi r^4}.</math>

이상의 정리는 [[가우스-보네 정리]] 및 [[가우스의 빼어난 정리]]와 밀접하게 연관되어 있다.

== 사례 ==
* 일반적인 유클리드 평면에 대해서 반지름 r인 원의 둘레는 2πr이므로 유클리드 평면의 가우스 곡률은 어느 곳에서나 0이 됨을 바로 알 수 있다.
* 반지름이 1인 구면을 생각해 보자. 여기서 천정을 중심으로 한 반지름이 r인 측지원의 둘레는 각이 r, 반지름이 1인 원호의 길이가 r로 주어짐을 고려하면 2πsinr이 됨을 알 수 있다. 따라서 구면의 가우스 곡률은 어느 곳에서나 <math>K(p) = \lim_{r\to 0^+} 3\frac{2\pi r-2\pi\sin{r}}{\pi r^3} = 1</math>이 된다.
* [[쌍곡평면]]에 대한 [[푸앵카레 상반평면]] 모델을 생각해 보자. 여기서 임의의 점을 중심으로 한 반지름이 r인 측지원의 둘레는 적절한 [[적분]]식을 이용하면 중심에 무관하게 2πsinhr로 주어짐을 알 수 있다. 따라서 쌍곡평면의 가우스 곡률은 어느 곳에서나 <math>K(p) = \lim_{r\to 0^+} 3\frac{2\pi r-2\pi\sinh{r}}{\pi r^3} = -1</math>이 된다.

== 같이 보기 ==
* [[가우스-보네 정리]]
* [[가우스의 빼어난 정리]]

== 참고 문헌 ==
* Berger, Marcel (2004), ''A Panoramic View of Riemannian Geometry'', Springer-Verlag, {{ISBN|3-540-65317-1}}
* Bertrand, J; Diquet, C.F.; Puiseux, V (1848), "Démonstration d'un théorème de Gauss", ''Journal de Mathématiques'' '''13''': 80–90
* Spivak, Michael (1999), ''A comprehensive introduction to differential geometry, Volume II'', Publish or Perish Press, {{ISBN|0-914098-71-3}}

{{전거 통제}}

[[분류:기하학 정리]]
[[분류:미분기하학]]
[[분류:미분기하학 정리]]