베르누이의 부등식 문서 원본 보기

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[[파일:Bernoulli inequality.svg|right|섬네일|베르누이의 부등식을 나타내는 그림, <math>y=(1 + x)^r</math>(빨강) 와 <math>y=1 + rx</math>(파랑)의 그래프이다. <math>r=3.</math>이다.]]

'''베르누이의 부등식'''(Bernoulli's inequality)은 실수[[해석학 (수학)|해석학]]에서 다루는 부등식으로 (1 + x)<sup>n</sup>을 근사하는 식이다.

== 베르누이의 부등식 ==
모든 [[정수]] r ≥ 0 과 모든 [[실수]] x > −1 에 대해

:<math>(1 + x)^r \geq 1 + rx\!</math>

이 성립한다. 만약 지수 r이 짝수이면, 위 부등식은 모든 실수 x에 대해 성립한다. 좀 더 강한 형태의 부등식으로 모든 [[정수]] r ≥ 2 과 모든 [[실수]] x > −1 , x ≠ 0 에 대해

:<math>(1 + x)^r > 1 + rx\!</math>

인 부등식도 있다.

베르누이의 부등식은 다른 부등식의 증명 과정중 어려운 부분이 있을 때 자주 쓰이는 부등식이다. 이 부등식은 아래와 같이 [[수학적 귀납법]]을 사용하면 증명할 수 있다.

== 부등식의 증명 ==
r = 0인 경우는 (1+x)<sup>0</sup> ≧ 1+0x 이므로 1 ≧ 1 이 되어 참이 된다.

이제 위 부등식이 r = k일 때 참이라고 가정하자.

:<math>(1+x)^k \ge 1+kx.</math>

식을 약간 변형하면,

:<math>(1+x)(1+x)^k \ge (1+x)(1+kx)</math> (가정에 의해 1+x > 0 이므로)

:<math>\begin{matrix}
& \iff & (1+x)^{k+1} \ge 1+kx+x+kx^2 \\
& \iff & (1+x)^{k+1} \ge 1+(k+1)x+kx^2
\end{matrix}.
</math>

이다. 그런데, <math>kx^2 \ge 0</math> 이니까 <math>1+(k+1)x + kx^2 \ge 1+(k+1)x</math> 이므로, <math>(1+x)^{k+1} \ge 1+(k+1)x</math>이다. 따라서 r = k+1 일 때도 식이 성립한다.

따라서, 수학적 귀납법에 의해 위 부등식은 모든 r ≧ 0에 대해 참이 된다.

== 일반화 ==
지수 r 은 정수 뿐만 아니라 모든 임의의 x > −1을 만족하는 실수로 일반화 될 수 있다. 그러면, 임의의 실수 r ≤ 0 또는 r ≥ 1에 대해

:<math>(1 + x)^r \geq 1 + rx\!</math>

이 성립하고 0 ≤ r ≤ 1 에 대해

:<math>(1 + x)^r \leq 1 + rx\!</math>

이 성립한다. 이 일반화는 [[미분]]을 비교하면 증명할 수 있다. 그리고 좀 더 강한 형태의 부등식은 x ≠ 0 와 r ≠ 0, 1을 만족할 때 얻을 수 있다.

== 관련된 부등식 ==
아래의 부등식은 1+x의 r승을 베르누이의 부등식과 반대쪽 방향에서 근사하는 부등식이다. 아무 실수 x, r &gt; 0 에 대해

:<math>(1 + x)^r \le e^{rx},\!</math>

이 성립한다. 여기서 e = [[자연로그의 밑|2.718...]]이다. 이 부등식은 부등식 (1 + 1/k)<sup>k</sup> < e 을 사용하면 증명할 수 있다.

[[분류:부등식]]