베르누이의 렘니스케이트 문서 원본 보기

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[[파일:Lemniscate of Bernoulli.svg|섬네일|400px|오른쪽|베르누이의 렘니스케이트]]

[[기하학]]에서 '''베르누이의 렘니스케이트'''({{llang|en|lemniscate of Bernoulli}})는 거리가 ''2a''인 두 초점''F''<sub>1</sub> , ''F''<sub>2</sub>가 주어졌을 때 곡선상의 각각의 점 ''P''에 대해 ''PF''<sub>1</sub>·''PF''<sub>2</sub> = ''a''<sup>2</sup>을 만족하는 평면곡선으로 정의된다. 이 곡선의 모양은 숫자 8 또는 기호 [[무한대|∞]]와 유사하며 그 이름은 {{llang|la|lemniscus|렘니스쿠스}}에서 유래했는데 이는 “펜던트 리본”이라는 뜻이다. 이 곡선은 [[카시니의 난형선]]의 특수한 경우이며 유리곡선이자 [[4차 곡선|4차
대]][[대수 곡선|수 곡선]]이다.

* 이것의 [[직교좌표계]]상의 [[방정식]]은 :

<math>(x^2 + y^2)^2 = 2a^2 (x^2 - y^2).\,</math>

* [[극좌표]]상에서는 : <math>r = a \sqrt{2 \cos(2\varphi)}</math>

* [[매개변수]][[방정식]]으로는 : <math>x = \frac{a\sqrt{2}\cos(t)}{\sin(t)^2 + 1}; \qquad y = \frac{a\sqrt{2}\cos(t)\sin(t)}{\sin(t)^2 + 1} </math>

렘니스케이트는 [[타원]]의 변형으로서 1694년 [[야코프 베르누이]]에 의해 처음 고안되었다. [[타원]]은 두 초점으로부터 거리의 ''합''이 일정한 곡선이다. 반면에, [[카시니의 난형선]]은 두 초점으로부터 거리의 ''곱''이 일정한 곡선이다. 이때 이 곡선이 두 초점의 중점을 지나는 경우가 바로 베르누이의 렘니스케이트이다.

이 [[렘니스케이트]]는 중심이 쌍곡선의 중심과 일치하는 반전원에 대한 쌍곡선의 [[반전기하학|반전형]]으로도 얻을 수 있다.

== 다른 방정식 표현들 ==
렘니스케이트는 아래의 [[극좌표]] 방정식으로도 표현이 가능하다.

:<math>r^2 = 2a^2 \cos 2\theta\,</math>

또는 아래의 [[쌍극좌표계]] 방정식으로도 표현된다.

:<math>rr' = \frac{a^2}{2}</math>

== 미분 ==

=== <math>x</math>에 대한 <math>y</math>의 함수로서 ===

:<math>\frac{dy}{dx} = \begin{cases}
\mbox{unbounded} & \mbox{if } y = 0 \mbox{ and } x \ne 0 \\
\pm1 & \mbox{if } y = 0 \mbox{ and } x = 0 \\
\frac{x(a^2 - x^2 - y^2)}{y(a^2 + x^2 + y^2)}  & \mbox{if } y \ne 0
\end{cases}</math>

:<math>\frac{d^2y}{dx^2} = \begin{cases}
\mbox{unbounded} & \mbox{if } y = 0 \mbox{ and } x \ne 0 \\
0 & \mbox{if } y = 0 \mbox{ and } x = 0 \\
\frac{3a^6(y^2 - x^2)}{y^3(a^2 + 2x^2 + 2y^2)^3}  & \mbox{if } y \ne 0
\end{cases}</math>

=== <math>y</math>에 대한 <math>x</math>의 함수로서 ===

:<math>\frac{dx}{dy} = \begin{cases}
\mbox{unbounded} & \mbox{if } 2x^2 + 2y^2 = a^2 \\
\pm1 & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y = 0 \\
\frac{y(a^2 + 2x^2 + 2y^2)}{x(a^2 - 2x^2 - 2y^2)}   & \mbox{else }
\end{cases}</math>

:<math>\frac{d^2x}{dy^2} = \begin{cases}
\mbox{unbounded} & \mbox{if } 2x^2 + 2y^2 = a^2 \\
0 & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y = 0 \\
\frac{3a^6(x^2 - y^2)}{x^3(a^2 - 2x^2 - 2y^2)^3}  & \mbox{else }
\end{cases}</math>

== 같이 보기 ==
* [[히포페데|부스의 렘니스케이트]]
* [[게로노의 렘니스케이트]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 |저자= J. Dennis Lawrence |제목= A catalog of special plane curves |url= https://archive.org/details/catalogofspecial00lawr |연도= 1972 |출판사= Dover Publications |ISBN=0-486-60288-5}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|title=Lemniscate|id=Lemniscate}}
* [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Curves/Lemniscate.html "Lemniscate of Bernoulli" at The MacTutor History of Mathematics archive]
* [http://mathcurve.com/courbes2d/lemniscate/lemniscate.shtml "Lemniscate de Bernoulli" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables] (in French)

[[분류:대수 곡선]]
[[분류:평면 곡선]]