범함수 미적분학 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''범함수 미적분학'''은 [[함수]]를 [[연산자]]에 적용할 수 있게 해주는 이론이다. 이제는 스펙트랄 이론과 연결된 [[함수해석학]] 분야의 한 가지(더 정확하게는 여러 관련 영역)이다. (역사적으로 이 용어는 [[변분법]]과 동의어로도 사용되었다. 때때로 함수 [[함수 방정식|방정식]]의 유형과 관련하여 사용되거나 [[1차 논리|술어 미적분]] 시스템의 논리에서 사용된다.)

<math> f </math>는 함수이고, [[실수]] 값 함수고, <math> M </math>이 연산자이면 표현식 <math> f(M) </math>이 의미 있어야 하는 특별한 이유는 없다. 만약 의미가 있다면, <math> f </math>를 더 이데알 원래 이 함수의 [[정의역]]에서 사용하지 않는 것이다. 연산자 미적분 의 전통에서 연산자의 대수식은 의미와 상관없이 처리된다. 하지만 <math> f(x) = x^2 </math>과   <math> n\times n </math> [[행렬]] <math> M </math>의 경우 '행렬 제곱'에 대해 이야기하면 거의 눈에 띄지 않게 지나간다. 범함수 미적분학의 아이디어는 이러한 종류의 과도한 표기법에 대한 원칙적인 접근 방식을 만드는 것이다.

가장 직접적인 경우는 정사각 행렬에 [[다항식|다항식 함수]]를 적용하여 방금 논의한 내용을 확장하는 것이다. 유한 차원의 경우 다항 함수 미적분은 연산자에 대한 많은 정보를 제공한다. 예를 들어, 연산자 <math> T </math>를 소멸시키는 다항식 계열을 고려하자. 이 계열은 다항식 환에서 [[아이디얼|이데알]]이다. 게다가 그것은 자명하지 않은 이데알이다. <math> n </math>을 행렬의 대수학의 유한 차원이라하자. 그러면 <math> \{I, T, T^2, \ldots, T^n \} </math> 선형 종속이다. 그래서  <math> \sum_{i=0}^n \alpha_i T^i = 0 </math>인 모두 0은 아닌 스칼라 <math> \alpha_i </math>들이 존재한다. 이것은 다항식 <math> \sum_{i=0}^n \alpha_i x^i </math> 이데알에 있음을 의미하다. 다항식 환은 [[주 아이디얼 정역|주 이데알 정역]]이므로 이 이데알은 어떤 다항식 <math> m </math>에 의해 생성된다. 필요한 경우 단위를 곱하여  <math> m </math> 모닉임을 선택할 수 있다. 이렇게 하면 다항식 <math> m </math>은 <math> T </math>의 [[최소 다항식 (선형대수학)|최소 다항식]]이다. 이 다항식은 <math> T </math>에 대한 깊은 정보를 제공한다. 예를 들어, 스칼라 <math> \alpha </math>가 <math> T </math>의 고유값임과 <math> \alpha </math>가 <math> m </math>의 근임은 동치이다. 또한 때로는 <math> m </math>은 <math> T </math>의 [[지수 함수|지수]]를 효율적으로 계산하는 데 사용할 수 있다.

다항식 미적분은 무한 차원의 경우에는 유익하지 않는다. 다항식 미적분학의 일방적 이동을 고려하라. 위에서 정의한 이데알은 이제 자명하다. 따라서 다항식보다 더 일반적인 함수 계산에 관심이 있다. 이 주제는 스펙트랄 이론과 밀접하게 연결되어 있다. [[대각 행렬]]이나 곱셈 연산자 의 경우 정의가 무엇인지 명확하기 때문이다.

== 같이 보기 ==
* {{주석 달린 링크|Borel functional calculus}}
* {{주석 달린 링크|Continuous functional calculus}}
* {{주석 달린 링크|Direct integral}}
* {{주석 달린 링크|Holomorphic functional calculus}}

== 참고 문헌 ==
* {{SpringerEOM|id=F/f042030|제목=Functional calculus}}

== 외부 링크 ==
* {{위키공용분류-줄}}

{{함수 해석학}}

[[분류:함수해석학]]
[[분류:변분법]]