범프 함수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Bump2D illustration.png|right|섬네일|250px|두 변수의 범프함수의 예시이다.]]
'''범프 함수'''는 [[유클리드 공간]]'''R'''<sup>''n''</sup>에서 매끄러운 함수이면서 [[지지집합|콤팩트 지지 집합]]인 함수''f'' : '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''이며, ''''테스트 함수'''[φ]라고도 불린다. '''R'''<sup>''n''</sup>에서 정의된 모든 범프 함수의 공간은 <math>C^\infty_0(\mathbf{R}^n)</math> 이나 <math>C^\infty_c(\mathbf{R}^n)</math>로 표기할 수 있다. 적절한 위상수학이 적용된 이 공간의 [[쌍대 가군]]은 [[분포 (해석학)|분포]]공간이다.

==예시==
[[파일:Mollifier Illustration.svg|right|섬네일|280px|함수 &Psi;(''x'')]]
다음과 같이 정의된 함수 Ψ : '''R''' → '''R'''는 일차원에서의 범프 함수의 예시이다.

:<math>\Psi(x) = 
\begin{cases}
\exp\left( -\frac{1}{1 - x^2}\right) & \mbox{ for } |x| < 1\\
0 & \mbox{ otherwise}
\end{cases}</math>

이 함수는 정의를 보면 콤팩트 지지 함수임을 알 수 있다. 이 함수의 실선은 유계 지지 함수이며 닫힌 지지함수일 경우에만 콤팩트 지지 함수이다. 이 함수가 매끄러움을 증명하려면 [[비 해석적 매끄러운 함수]]의 함수와 같은 과정을 거친다. 이 함수는 단위 디스크에 맞게 축적시킨 [[가우스 함수]]<math>e^{-y^2}</math>로 해석될 수 있다: <math>y^2=1/(1-x^2)</math>로 치환하여 ''x'' = ±1로 갈 때 ''y'' = ∞으로 대응 시키는 것이다.

단순한 ''n''차원의 범프 함수의 예시는 위의 함수에 각 변수를 넣어 곱한 것으로 얻을 수 있다.
:<math>\Phi(x_1, x_2, \dots, x_n) = \Psi(x_1)\Psi(x_2)\cdots\Psi(x_n).</math>

==범프 함수의 존재성==
[[파일:Venn diagram of three sets.svg|right|섬네일|생성하는 과정에서의 잡합의 모식도]]
범프 함수는 "특정화 하기 위해서" 만들 수 있다. 공식으로는, ''K''가 임의의 ''n''차원의 [[콤팩트 집합]]이고 ''U''가 ''K''를 포함하는 [[열린 집합]]이라고 하면, 항상 ''K''에서 1 이고 ''U''외부에서 0인 범프 함수 φ가 존재한다. 심지어 ''U''가 ''K''에서 매우 조금 떨어져 있다고 하더라도 항상 ''K''에서 1이고, ''K''외부에서 급격하게 0으로 떨어지면서도 매끄러운 함수인 범프 함수가 존재한다.

생성과정은 다음과 같다. 한 방법은 ''K'' ⊂ ''V<sup>o</sup>'' ⊂ ''V'' ⊂ ''U''를 만족하도록 하는 ''U''에 포함되면서 ''K''에 조금 떨어진 콤팩트한 ''V''를 두는 것이다. 또 다른 방법은 ''V''에서 1이고, ''V''외부에서는 0인 ''V''의 [[지시 함수|특성 함수]]<math>\chi_V</math>를 두는 것이다. 하지만 이 함수는 매끄럽지 않기 때문에 요점은 함수 <math>\chi_V</math>와 [[완화자]]의 [[합성곱]]을 구함으로써 <math>\chi_V</math>를 매끄럽게 하는 것이다. 후자는 단순히 적분이 1인 지지집합이 매우 작은 범프 함수이다. 이러한 완화자는 예를 들면 위의 범프 함수<math>\Phi</math>에 적절한 크기변환을 함으로써 얻을 수 있다.

==속성과 활용==

범프 함수는 매끄럽지만 동일하게 사라지지 않는 이상 [[해석 함수|해석적]]일 수는 없다. 이것은 [[항등 정리]]의 단순한 결과이다.

범프 함수는 매끄러운 [[단위 분할]]을 생성하기 위해서 매끄러운 [[절단함수]]의 형태로 [[완화자]]역할을 한다. 이것은 해석학에서 흔히 [[테스트 함수]]로 사용된다.

범프 함수는 많은 연산에 대해서 닫혀있다. 예를 들면, 합이나 곱, 또한 두 범프 함수간의 [[합성곱]]은 범프 함수이며, [[매끄러운 수]]를 계수로 가지는 [[미분 연산자]]를 범프함수에 적용한 것 또한 범프 함수이다.

범프 함수의 [[푸리에 변환]]은 (실)해석 함수이며, 복소평면 전체로 확장할 수 있다: 따라서 오직 [[전해석 함수|전해석]] 범프 함수만이 영함수이므로 0이 아닌 이상 콤팩트하게 지지받지 못한다.([[페일리 위너 정리]]) 범프 함수는 무한하게 미분 가능하기 때문에 큰 각 주파수|''k''|에 대한 푸리에 변환''F''(''k'')는 1/''k''의 유한한 거듭제곱 보다 빠르게 감소해야 한다.<ref>K. O. Mead and L. M. Delves, "On the convergence rate of generalized Fourier expansions," ''IMA J. Appl. Math.'', vol. 12, pp. 247–259 (1973) {{doi|10.1093/imamat/12.3.247}}.</ref> 특별한 범프함수

:<math>\Psi(x) =   e^{-\frac{1}{1-x^2}} \mathbf{1}_{\{|x|<1\}}</math>

의 푸리에 변환은 [[가장 가파른 하강 방법|안장점 방법]]을 통해 분석가능하고, 큰 |''k''|에서 아래와 같이 점근적으로 감소한다.<ref>Steven G. Johnson, [http://arxiv.org/abs/1508.04376 Saddle-point integration of ''C''<sub>∞</sub> "bump" functions], arXiv:1508.04376 (2015).</ref>

:<math>|k|^{-\frac{3}{4}} e^{-\sqrt{|k|}}</math>

== 같이 보기 ==
* [[라플라시안 지표]]
* [[비 해석적 매끄러운 함수]]

== 출처 ==
<references/>

[[분류:함수와 사상]]
[[분류:매끄러운 함수]]