범마방진 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
'''범마방진'''(汎魔方陣, {{llang|en|panmagic square}}) 또는 '''범대각선 마방진'''(汎對角線 魔方陣, {{llang|en|pandiagonal magic square}})은 [[범대각선]]에 있는 수들의 합도 [[마법 상수]]로 동일한 [[마방진]]이다. 여기서 범대각선이란 평행한 두 대각선으로 구성된 ''n''개의 수들의 집합을 말한다. 범마방진은 마방진의 최상위 등급으로 생각되어,<ref>{{웹 인용 |제목=The Order-5 Magic Square |url=http://www.magic-squares.net/pandiag.htm#Pandiagonal |웹사이트=magic-squares.net |인용문=To be pandiagonal, the broken diagonal pairs must also sum to the magic constant. This is considered the top class of magic squares. |확인날짜=2020-11-03 |archive-date=2020-07-06 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200706040252/http://www.magic-squares.net/pandiag.htm#Pandiagonal |url-status=dead }}</ref> '''완전방진'''(完全方陣),<ref>{{웹 인용|제목=5 x 5 Complete magic square (일본어)|url=http://www.pse.che.tohoku.ac.jp/~msuzuki/magic5c.html|웹사이트=www.pse.che.tohoku.ac.jp|인용문=(일본어) 主対角だけでなく汎対角の和も一定なので汎魔方陣と呼ばれます。または完全魔方陣とも呼ばれます。(한국어) 주(主)대각선뿐만 아니라 범(汎)대각선의 합도 일정하므로 범마방진 또는 완전마방진이라고 부르기도 합니다.|확인날짜=2020-11-03|archive-date=2000-08-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20000819132125/http://www.pse.che.tohoku.ac.jp/~msuzuki/magic5c.html|url-status=}}</ref> '''완전대각방진'''(完全對角方陣)이라고도 한다.

예를 들어 아래 범마방진에서 빨간색은 대각선이고, 나머지 파란색, 노란색, 초록색은 각각 범대각선이다.
{|align="center" cellspacing="20"
|
{|align="center" border="1" cellspacing="0" cellpadding="5" style="text-align:center"
|bgcolor="#F78080"|3 ||bgcolor="#79B7FC"|10||bgcolor="#FCFA79"|15||bgcolor="#8DFA9F"|6
|-
|bgcolor="#8DFA9F"|13||bgcolor="#F78080"|8 ||bgcolor="#79B7FC"|1 ||bgcolor="#FCFA79"|12
|-
|bgcolor="#FCFA79"|2 ||bgcolor="#8DFA9F"|11||bgcolor="#F78080"|14||bgcolor="#79B7FC"|7
|-
|bgcolor="#79B7FC"|16||bgcolor="#FCFA79"|5 ||bgcolor="#8DFA9F"|4 ||bgcolor="#F78080"|9
|}
|
{|align="center" border="1" cellspacing="0" cellpadding="5" style="text-align:center"
|bgcolor="#8DFA9F"|3 ||bgcolor="#FCFA79"|10||bgcolor="#79B7FC"|15||bgcolor="#F78080"|6
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|bgcolor="#F78080"|16||bgcolor="#8DFA9F"|5||bgcolor="#FCFA79"|4||bgcolor="#79B7FC"|9
|}
|-
|
{|align="center" cellpadding="5" style="text-align:center"
|bgcolor="#F78080"|3+8+14+9=34
|-
|bgcolor="#79B7FC"|10+1+7+16=34
|-
|bgcolor="#FCFA79"|15+12+2+5=34
|-
|bgcolor="#8DFA9F"|6+13+11+4=34
|}
|
{|align="center" cellpadding="5" style="text-align:center"
|bgcolor="#F78080"|6+1+11+16=34
|-
|bgcolor="#79B7FC"|15+8+2+9=34
|-
|bgcolor="#FCFA79"|10+13+7+4=34
|-
|bgcolor="#8DFA9F"|3+2+14+15=34
|}
|}
범대각선 마방진에서는 대각선뿐 아니라 범대각선에서도 합이 [[마방진 합]]으로 같아야 한다. 이 마방진에서 마방진 합은 34이다.

<div>__TOC__</div>

== 3×3 범마방진 ==
[[자명성|비자명]]한 3차 범마방진은 존재하지 않는다. 다음과 같은 범마방진에서
:<math>\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\!\! a_{11}\!\!\! &\!\! a_{12}\!\!\! &\!\! a_{13} \!\!\!\\
\hline
\!\! a_{21}\!\!\! &\!\! a_{22}\!\!\! &\!\! a_{23} \!\!\!\\
\hline
\!\! a_{31}\!\!\! &\!\! a_{32}\!\!\! &\!\! a_{33} \!\!\!\\
\hline
\end{array}</math>
마방진 상수가 {{tmath|s}}라 하자. {{tmath|a_{11} + a_{22} + a_{33},}} {{tmath|a_{12} + a_{22} + a_{32},}} {{tmath|a_{13} + a_{22} + a_{31} }} 을 모두 더하면 {{tmath|3s}}가 된다. 그런데 그 중에서 {{tmath|a_{11} + a_{12} + a_{13} }} 과 {{tmath|a_{31} + a_{32} + a_{33} }} 을 더하면 {{tmath|1=3a_{22} = s}} 임을 알 수 있다. 하지만 3번째 세로줄을 맨 왼쪽으로 옮기고 같은 방법을 적용하면, {{tmath|1=3a_{21} = s}} 이어야 한다. 따라서 수의 값은 모두 {{tmath|\tfrac{1}{3}s}}으로 같아야 한다.

그런데 마방진의 개념에서 수들 대신 기하학적인 모양으로 일반화시킬 때, 도형 마방진([[:en:geometric magic square|geometric magic square]])에서 3×3 범마방진은 존재한다.
[[파일:Geomagic square - 3x3 nasik.jpg|섬네일|none|3×3 기하 범마방진]]

== 4×4 범마방진 ==
[[파일:4x4_magic_square_hierarchy.svg|섬네일|upright|4×4 마방진의 종류를 [[벤 다이어그램]]으로 표시한 것이다. 같은 색으로 표시된 부분에서 합이 [[마방진 상수]]로 같다.]]
가장 작은 [[자명성|비자명]]한 범마방진은 4×4 마방진이다. 모든 4×4 범마방진은 다음 예시<ref>{{웹 인용 | url = http://math.sfsu.edu/beck/teach/masters/louis.pdf | title = Magic Counting with Inside-Out Polytopes | date = May 13, 2018 | first = Louis | last = Ng | 확인날짜 = 2020-10-20 | archive-date = 2020-10-04 | archive-url = https://web.archive.org/web/20201004115247/http://math.sfsu.edu/beck/teach/masters/louis.pdf | url-status =  }}</ref>에서 한 가로/세로줄을 반대편으로 [[평행 이동]]했을 때 대칭이어야 한다.

{| class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none; text-align:center; width:22em; height:22em; table-layout:fixed;"
|-
| ''a'' || ''a'' + ''b'' + ''c'' + ''e'' || ''a'' + ''c'' + ''d'' || ''a'' + ''b'' + ''d'' + ''e''
|-
| ''a'' + ''b'' + ''c'' + ''d'' || ''a'' + ''d'' + ''e'' || ''a'' + ''b'' || ''a'' + ''c'' + ''e''
|-
| ''a'' + ''b'' + ''e'' || ''a'' + ''c'' || ''a'' + ''b'' + ''c'' + ''d'' + ''e'' || ''a'' + ''d''
|-
| ''a'' + ''c'' + ''d'' + ''e'' || ''a'' + ''b'' + ''d'' || ''a'' + ''e'' || ''a'' + ''b'' + ''c''
|}

모든 2×2 부분사각형의 합이 마법 상수이기 때문에, 4×4 범마방진은 [[가장 완벽한 마방진]]([[:en:most-perfect magic square|most-perfect magic square]])이다. 게다가 모든 3×3 사각형에서 반대쪽 꼭짓점에 있는 두 쌍의 수들의 합은 [[마법 상수]]의 절반이다. 따라서 모든 [[결합 마방진]]([[:en:associative magic square|associative]])인 4×4 범마방진은 똑같은 수들이 있어야 한다.

1부터 16까지의 수를 중복하지 않고 사용한 모든 4×4 범마방진은 {{mvar|a}}를 1로 해야 하고, {{mvar|b}}, {{mvar|c}}, {{mvar|d}}, {{mvar|e}}를 1, 2, 4, 8 (순서는 상관없음)로 해야 얻을 수 있다. 그리고 [[평행 이동]]을 사용할 수 있다. 예를 들어 {{math|1=''b'' = 1}}, {{math|1=''c'' = 2}}, {{math|1=''d'' = 4}}, {{math|1=''e'' = 8}}로 하면, 다음과 같은 마방진을 얻을 수 있다.

{| class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none; text-align:center; text-align:center; width:8em; height:8em; table-layout:fixed;"
|-
|  1 ||  8 || 13 || 12
|-
| 14 || 11 ||  2 ||  7
|-
|  4 ||  5 || 16 ||  9
|-
| 15 || 10 ||  3 ||  6
|}

1부터 16까지의 수를 중복하지 않고 사용한 모든 4×4 범마방진의 경우의 수는 384(=16×24)가지이다. 평행 이동으로 16개가 가능하고 1, 2, 4, 8을 {{mvar|b}}, {{mvar|c}}, {{mvar|d}}, {{mvar|e}}에 배정할 때 4!(24)가지 방법이 있기 때문이다.

== 5×5 범마방진 ==
5×5 범마방진은 많이 있다. 4×4 범마방진과는 달리, [[결합 마방진]]이 가능하다. 다음은 5×5 결합 범마방진이다.

{| class="wikitable" style="margin-left:auto;margin-right:auto;text-align:center;width:10em;height:10em;table-layout:fixed;"
|-
| 20 ||  8 || 21 || 14 ||  2
|-
| 11 ||  4 || 17 || 10 || 23
|-
|  7 || 25 || 13 ||  1 || 19
|-
|  3 || 16 ||  9 || 22 || 15
|-
| 24 || 12 ||  5 || 18 ||  6
|}

게다가 5×5 범마방진의 가로줄, 세로줄, 대각선에서는 [[오점형]]([[:en:quincunx|quincunx]])에 위치한 수의 합도 [[마법 합]]으로 같다.<ref>{{웹 인용|제목=5 x 5 Complete magic square (일본어)|url=http://www.pse.che.tohoku.ac.jp/~msuzuki/magic5c.html|웹사이트=www.pse.che.tohoku.ac.jp|인용문=(일본어) ５次の完全魔方陣には更に次のような性質があります。 魔方陣の中から５個の数値を選び出す方法は沢山ありますが、それらが 正方形状とその中心となっているときに、それらのすべて について総和が６５になるのです。(한국어) 5차 완전마방진에는 다음과 같은 성질이 있습니다. 마방진 중에서 5개의 수를 골라내는 방법은 많은데, 정사각형 모양과 그 중심([[오점형]])을 골라내면 모두 합이 65가 되는 것입니다.|확인날짜=2020-11-03|archive-date=2000-08-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20000819132125/http://www.pse.che.tohoku.ac.jp/~msuzuki/magic5c.html|url-status=}}</ref> 예를 들어

: 17+25+'''13'''+1+9 = 65 (중앙의 수 + 닿아 있는 가로·세로줄에서 옆에 있는 수)
: 21+7+'''13'''+19+5 = 65 (중앙의 수 + 닿아 있는 가로·세로줄에서 나머지 수)
: 4+10+'''13'''+16+22 = 65 (중앙의 수 + 닿아 있는 대각선에서 옆에 있는 수)
: 20+2+'''13'''+24+6 = 65 (중앙의 수 + 닿아 있는 대각선에서 나머지 수)

각 오점형은 둘러싸고 있는 가로줄과 세로줄의 원형 [[순열]]을 통해 사각형에 있는 다른 위치로 [[평행 이동]]시킬 수 있다. 범마방진은 [[마법 상수]]의 [[등식]](equality)에 영향을 받지 않기 때문이다. 그래서 깨진 대각선과 비슷한 깨진 오점형을 포함하면, 합이 같은 오점형이 100개가 만들어진다.

합이 같은 오점형은 가로줄, 세로줄, 대각선 합의 선형 조합을 통해 증명할 수 있다.
범마방진이 다음과 같다고 하자. 마법 상수는 {{mvar|s}}이다.
:<math>\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\!\! a_{11} \!\!\! & \!\! a_{12} \!\!\! & \!\! a_{13} \!\!\! & \!\! a_{14} \!\!\! & \!\! a_{15} \!\!\!\\
\hline
\!\! a_{21} \!\!\! & \!\! a_{22} \!\!\! & \!\! a_{23} \!\!\! & \!\! a_{24} \!\!\! & \!\! a_{25} \!\!\!\\
\hline
\!\! a_{31} \!\!\! & \!\! a_{32} \!\!\! & \!\! a_{33} \!\!\! & \!\! a_{34} \!\!\! & \!\! a_{35} \!\!\!\\
\hline
\!\! a_{41} \!\!\! & \!\! a_{42} \!\!\! & \!\! a_{43} \!\!\! & \!\! a_{44} \!\!\! & \!\! a_{45} \!\!\!\\
\hline
\!\! a_{51} \!\!\! & \!\! a_{52} \!\!\! & \!\! a_{53} \!\!\! & \!\! a_{54} \!\!\! & \!\! a_{55} \!\!\!\\
\hline
\end{array}</math>

오점형의 합이 <math>a_{11} + a_{15} + a_{33} + a_{51} + a_{55} = s</math>임을 증명하려면, (숫자로 된 예시에서는 20+2+13+24+6 = 65에 해당됨) 다음의 수를 더하면 된다.
# <math>a_{11} + a_{22} + a_{33} + a_{44} + a_{55}</math>, <math>a_{15} + a_{24} + a_{33} + a_{42} + a_{51}</math> 대각선 합의 각 3배
# <math>a_{11} + a_{25} + a_{34} + a_{43} + a_{52}</math>, <math>a_{12} + a_{23} + a_{34} + a_{45} + a_{51}</math>, <math>a_{14} + a_{23} + a_{32} + a_{41} + a_{55}</math>,  <math>a_{15} + a_{21} + a_{32} + a_{43} + a_{54}</math> [[깨진 대각선]]의 합
# <math>a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{14} + a_{15}</math>, <math>a_{51} + a_{52} + a_{53} + a_{54} + a_{55}</math> 가로줄의 합

이 합에서 다음의 수를 빼면 된다.
# <math>a_{21} + a_{22} + a_{23} + a_{24} + a_{25}</math>,  <math>a_{41} + a_{42} + a_{43} + a_{44} + a_{45}</math> 가로줄의 합
# <math>a_{13} + a_{23} + a_{33} + a_{43} + a_{53}</math> 세로줄의 합
# <math>a_{12} + a_{22} + a_{32} + a_{42} + a_{52}</math>, <math>a_{14} + a_{24} + a_{34} + a_{44} + a_{54}</math> 세로줄의 합의 각 2배

이 결과는 <math>5a_{11} + 5a_{15} + 5a_{33} + 5a_{51} + 5a_{55} = 5s</math>이고, 5로 나누면 이 오점형의 합이 마법 합(magic sum)과 같다는 걸 알 수 있다. 수로 된 마방진 예시와 같이, 다음 오점형의 합도 마법 합과 같게 된다. <math>a_{23} + a_{32} + a_{33} + a_{34} + a_{43}</math>, <math>a_{13} + a_{31} + a_{33} + a_{35} + a_{53}</math>, <math>a_{22} + a_{24} + a_{33} + a_{42} + a_{44}</math>

== 연속하지 않는 정수로 이루어진 (4''n''+2)×(4''n''+2) 범마방진 ==
연속적인 정수(예를 들어 1, 2, 3, 4, 5)가 사용되면 <math>4n+2</math>차 범마방진은 존재하지 않는다. 하지만 특정한 순서의 연속하지 않은 정수가 있으면 가능하다.

== 같이 보기 ==
* [[범대각선]]
* [[마방진]]

== 각주 ==
<references />

== 외부 링크 ==
* [https://mathworld.wolfram.com/PanmagicSquare.html Wolfram Math World의 범마방진 문서]

{{마법진}}

[[분류:마방진]]
[[분류:행렬]]