번스타인 상수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{| class="infobox" style ="width: 370px;"
|[[이진수]]
| 0.01000111101110010011000000110011…
|-
| [[십진수]]
| 0.280169499…
|-
| [[십육진수]]
| 0.47B930338AAD…
|-
| [[연분수|연(속)분수]]
| <math>\cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{9+ \ddots}}}}}</math>
|}

'''번스타인 상수'''({{llang|en|Bernstein constant}})는 [[1914년]] 번스타인이 자신의 논문에서 언급한 상수이다. 일반적으로 [[그리스 문자]] 베타 (<math>\beta</math>)로 표시되며 대략 <math>0.2801694990....</math>와 같다.<ref>{{저널 인용|성1=SORIN G|이름1=GAL|제목=ON THE BERNSTEIN’S CONSTANT IN CONVEX APPROXIMATION|저널=Open Problems in Mathematics|날짜=2016-02-22|권=3|쪽=1-3|url=https://arxiv.org/pdf/1505.02177.pdf}}</ref><ref>{{인용|title=Sur la meilleure approximation de ''x'' par des polynomes de degrés donnés|last=Bernstein|first= S. N. |journal= Acta Math. |volume=37|pages= 1–57|year= 1914 |doi=10.1007/BF02401828}}</ref>

==정의==
:<math>E_{2n} (|x|)</math>는 <math>|x|</math>에 대한 최상의 평균 근사의 오차를 나타낸다.
1914년에 유명한 러시아의 [[수학자]] 번스타인은 <math>\beta=\lim_{n \to \infty}2nE_{2n}(|x|)</math>에 대한 양의 상수<math>\beta</math>의 존재를 확립했다. 번스타인은 또한 <math>\beta</math>에대한 상한 및 하한을 <math>0.278</math>과 <math>0.286</math>에서 결정했다.<ref>{{저널 인용|성1=Varga|이름1=Richard S.|성2=Carpenter|이름2=Amos J.|제목=On the bernstein conjecture in approximation theory|저널=Constructive Approximation|날짜=1985-12|권=1|호=1|쪽=333-348|doi=10.1007/BF01890040|url=http://link.springer.com/article/10.1007/BF01890040}}</ref>
*<math>0.278 < \beta = {1\over{2\sqrt{\pi}}}< 0.286</math>
<math>E_{n} (f)</math>는 차수<math> n </math>이하의 [[실수]] 다항식에 의해 구간 <math>[-1,1]</math>에서 실제 함수 <math>f ( x )</math>에 대한 최적의 균등 근사 오차라고하자.<ref name="mathW">http://mathworld.wolfram.com/BernsteinsConstant.html</ref>
<!--<ref name="mathW">{{웹 인용 |url=http://mathworld.wolfram.com/BernsteinsConstant.html|웹사이트=MathWorld}}</ref>-->
:<math> f( x ) = | x | \;\;</math>에서 번스타인은 한계값,

:<math>\beta=\lim_{n \to \infty}2nE_{2n}(f)</math>
번스타인 상수 ( Bernstein 's constant )가 존재하며 <math>0.278</math>과 <math>0.286</math> 사이에 존재한다고 추측했다.<ref name="mathW" />

번스타인이 제안한 한계값은 다음과 같다.<ref name="mathW" />

:<math>\frac {1}{2\sqrt {\pi}}=0.28209\dots</math>
:<math>{{(0.278....+0.286....)}\over{2}}=0.282....</math>
[[1984년]] 바르가와 카펜터에 의해 반증되었는데, 수정된 번스타인 상수의 한계값은 다음과 같다.<ref name="mathW"/><ref>{{인용|last=Varga|first= Richard S.|last2= Carpenter|first2= Amos J. |title=A conjecture of S. Bernstein in approximation theory|journal= Math. USSR Sbornik |volume=57|pages= 547–560|year= 1987|mr=0842399|doi = 10.1070/SM1987v057n02ABEH003086|issue=2}}</ref>

보다 엄격한 상한선과 하한선을 결정하면,<ref>http://www.mathnet.ru/links/175d10936abf1e059a1c38f893b4fa60/sm1844.pdf ,  Richard S. Varga and Amos J. Carpenter, On the Bernstein conjecture in approximation theory, Const. Approx. 1 (1985), 333-348. MR 87g:41066. MR 88f:41030. Zbl. 648.41013. (http://www.math.kent.edu/~varga/pub/paper_150.pdf)</ref>
:<math>l_{18}<l_{19}<l_{20} = 0.2801685460....\le \beta  \le 0.2801733791.... = 2\mu_{100}<2\mu_{99}<2\mu_{98}</math>

:<math>\beta=0.280169499023\dots</math>

== 계수 ==
;상한계수
번스타인 상수의 상한계수는 다음과 같다.
:<math>   k  \quad \mu_k</math>
:<math>  0  \;\; 0.25 </math>
:<math>  1  \;\; 0.15490 83241.... </math>
:<math>  2  \;\; 0.14482 23214.... </math>
:<math>  3  \;\; 0.14229 28116.... </math>
:<math>  4  \;\; 0.14134 08222.... </math>
:<math>  5  \;\; 0.14088 99963.... </math>

:<math>\mu_k = \begin{Vmatrix} cos(\pi t)    \begin{Bmatrix}  F(t)- \left(  \hat{a}_0(k) + \sum_{n=1}^{k} {{(2n-1)  \hat{a}_n(k)}\over{t^2 - \left( {{2n-1}\over{2}} \right)^2 }} \right)  \end{Bmatrix}   \end{Vmatrix}_{L_{(\infty)}[0,+\infty)}</math>
:<math>F(t)= {t\over2} \begin{Bmatrix}  \psi \left({t\over2} +{3\over4} \right)-  \psi \left( {t\over2} +{1\over4} \right)  \end{Bmatrix}  \qquad (t\ge0)</math>
:[[폴리감마 함수]]<math>\psi \quad \hat{a}</math>[[추정량]] <math>\;\; ,\;\;\begin{Vmatrix}  \end{Vmatrix}</math>[[노름]] <math>, \;\; [0,1) </math>[[구간]]

;하한계수
번스타인 상수의 하한계수는 다음과 같다.
:<math>   k  \quad l_k</math>
:<math>  1  \;\; 0.27198 23590.... </math>
:<math>  2  \;\; 0.27893 09228.... </math>
:<math>  3  \;\; 0.27981 10004.... </math>
:<math>  4  \;\; 0.28002 43339.... </math>
:<math>  5  \;\; 0.28009 77913.... </math>

:<math>l_k := sup\{ B_k(\lambda_1, \lambda_2 , .... , \lambda_k ): \{ \lambda_j\}_{j-1}^{k}  \quad , \quad  (j -1 < \lambda_j <j  ,  j \ge 1) \}</math>
:<math>B_k(\lambda_1, \lambda_2 , .... , \lambda_k ):= {{\sum_{i=1}^{k}{{\varphi_k (\lambda_i)}\over{\psi_k^{'} (\lambda_i)}} \left( 1- \left( {{2\lambda_{i}}\over{\lambda_{i}+{1\over2}}}\right) F\left( \lambda_{i}+ {1\over2}\right) \right) }\over{\sum_{i=1}^{k}{{\varphi_k (\lambda_i)}\over{\psi_k^{'} (\lambda_i)}} \left( {{2}\over{\pi \lambda_{i}}} + tan \left( {\pi \over2} (\lambda_{i} -i+1) \right)   \right)}}    </math>
:<math>{{\varphi_k (\lambda_i)}\over{\psi_k^{'} (\lambda_i)}}  = { {\prod_{j=1}^{i-1} (\lambda_{i}^{2}-j^2) \cdot \prod_{j=i}^{k-1} (j^2-\lambda_{i}^{2}) }\over{2\lambda_{i}\prod_{j=1}^{i-1} (\lambda_{i}^{2}-\lambda_{j}^2) \cdot \prod_{j=i+1}^{k} (\lambda_{j}^{2}-\lambda_{i}^2)} }   \qquad , \quad (1\le i\le k)\;\;,\;\;sup\{....\}</math>  [[상한과 하한|상한]]

== 같이 보기 ==
* [[수학 상수]]
* [[폴리감마 함수]]
* [[가우스-쿠즈민-비어징 상수]]
* [[상한과 하한]]

== 각주 ==
<references/>

{{전거 통제}}

[[분류:수학 상수]]
[[분류:수치해석학]]