번사이드 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|번사이드 보조정리|[[가해군]]에 대한 정리|[[군의 작용]]의 궤도 수에 대한 정리}}
[[군론]]에서 '''번사이드 정리'''({{llang|en|Burnside theorem}})는 크기의 [[소인수]]가 두 개 이하인 군은 [[가해군]]이라는 정리다.

== 정의 ==
'''번사이드 정리'''에 따르면, [[유한군]] <math>G</math>의 크기가 다음과 같은 꼴이라면 <math>G</math>는 [[가해군]]이다.
:<math>|G|=p^mq^n</math>
여기서 <math>p</math>와 <math>q</math>는 [[소수 (수론)|소수]]이며, <math>m</math>과 <math>n</math>은 음이 아닌 [[정수]]이다.

== 역사 ==
[[페르디난트 게오르크 프로베니우스]]가 1895년에 이 정리를 <math>p^mq</math> 꼴의 군에 대하여 증명하였다.<ref>{{저널 인용|언어= de|이름=Georg|성=Frobenius|제목=Über auflösbare Gruppen II|저널=Sitzungsber. Akad. Wiss. Berlin|날짜=1895|쪽=1027–1044}}</ref> [[카미유 조르당]]은 이 정리를 <math>p^mq^2</math> 꼴에 대하여 증명하였다. 이후 1905년에 [[윌리엄 번사이드]]가 일반적인 <math>p^mq^n</math> 꼴의 군에 대하여 증명하였다.<ref>{{서적 인용|언어=en|이름=William|성=Burnside|제목=Theory of Groups of Finite Order|연도=1911|url=https://archive.org/details/bwb_P9-CCF-743|jfm=40.0183.02}}</ref>

== 증명 ==
이 정리는 순수 [[군론]]에서의 정리이지만, 번사이드의 원래 증명은 [[군 표현론]]을 사용한다. 이후 표현론을 사용하지 않는 증명도 발표된 바 있지만, 번사이드 정리는 군 표현론의 군론에서의 대표적인 응용으로 꼽힌다.

번사이드의 원래 증명은 개략적으로 다음과 같다.
# [[수학적 귀납법]]을 사용하여, <math>|G|=p^mq^n</math>인 유한 [[단순군]] <math>G</math>가 [[순환군]]임을 증명하는 것으로 족하다. [[귀류법]]을 사용해, 이러한 크기를 가진 유한 단순군 <math>G</math>가 순환군이 아니라고 가정하자.
# <math>n=0</math>인 경우는 [[p-군]]의 이론에 따라 쉽게 보일 수 있다 (<math>m>1</math>인 경우 자명하지 않은 [[군의 중심|중심]]을 갖게 돼, 단순군이 아님). 따라서 <math>m,n\ge1</math>이라고 놓자.
# 켤레류 공식({{llang|en|class equation}})에 따라서, <math>G</math>는 <math>q</math>에 대하여 [[서로소]]인 크기를 가진 [[켤레류]]를 갖는다. 따라서, <math>G</math>가 자명하지 않는 [[군의 중심]]을 갖거나, 아니면 크기가 <math>p^r</math>인 켤레류를 갖는다 (<math>0<r\le m</math>) 전자는 <math>G</math>가 단순군이라는 가정에 어긋나므로, 후자가 옳다. 이 켤레류의 대표 원소를 <math>g\in G</math>라고 하자.
# [[군 표현의 지표|지표]]의 직교성을 사용하여, <math>|\chi(g)|=\chi(1)</math>인 <math>G</math>의 기약 지표 <math>\chi</math>가 존재한다.
# <math>G</math>는 단순군이므로, 자명하지 않은 모든 복소수 [[기약 표현]]은 [[군 표현론#정의|충실한 표현]]이며, <math>G</math>는 [[군의 중심|중심]]이 [[자명군]]이므로, 따라서 <math>\chi(g)=\chi(1)</math>이라면 <math>x=1</math>이어야 한다. 이는 모순이다.

== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:군론]]
[[분류:군론 정리]]