번사이드 보조정리 문서 원본 보기

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[[군론]]에서 '''번사이드 보조정리'''({{llang|en|Burnside lemma}})는 [[군의 작용]]에서 궤도의 수를 세는 정리다.

== 정의 ==
[[유한군]] <math>G</math>가 집합 <math>X</math> 위에 (왼쪽에서) [[군의 작용|작용]]한다고 하자. 각 <math>g\in G</math>에 대하여,
:<math>X^g=\{x\in X\colon g\cdot x=x\}</math>
가 <math>g</math>의 고정점의 집합이라고 하자. 또한,
:<math>X/G=\{G\cdot x\colon x\in X\}</math>
가 모든 [[군의 작용의 궤도|궤도]]의 집합이라고 하자. '''번사이드 보조정리'''에 따르면, 다음이 성립한다.
:<math>|X/G|=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}|X^g|</math>

== 증명 ==
다음과 같이 증명할 수 있다.
:{|
|<math>\sum_{g\in G}|X^g|</math>
|<math>=|\{(g,x)\in G\times X\colon g\cdot x=x\}|</math>
|-
|
|<math>=\sum_{x\in X}|G_x|</math>
|(여기서 <math>G_x</math>는 <math>x</math>의 [[안정자군]]이다.)
|-
|
|<math>=\sum_{x\in X}\frac{|G|}{|G\cdot x|}</math>
|([[궤도-안정자군 정리]])
|-
|
|<math>=\sum_{A\in X/G}\sum_{x\in A}\frac{|G|}{|A|}</math>
|(<math>X/G</math>는 <math>X</math>에 대한 [[집합의 분할|분할]]을 이룬다.)
|-
|
|<math>=\sum_{A\in X/G}|G|</math>
|-
|
|<math>=|X/G|\cdot|G|</math>
|}

== 역사 ==
이 보조정리는 이미 [[오귀스탱 루이 코시]]에게 1845년 알려져 있었다. [[페르디난트 게오르크 프로베니우스]]가 1887년 쓴 논문에도 수록되어 있다.<ref>{{저널 인용 | last=Frobenius |first=Ferdinand Georg |authorlink=페르디난트 게오르크 프로베니우스 |title=Ueber die Congruenz nach einem aus zwei endlichen Gruppen gebildeten Doppelmodul |journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik |권=1887|호=101|날짜=1887 |쪽=273–299|issn= 0075-4102|doi=10.1515/crll.1887.101.273|언어=de}}</ref> [[윌리엄 번사이드]]가 1897년 쓴 책에 프로베니우스를 인용하였고, 이 보조정리의 증명을 수록하였다.<ref>{{서적 인용 | last=Burnside | first=William | authorlink=윌리엄 번사이드 | title=Theory of groups of finite order | url=https://archive.org/details/cu31924086163726 | publisher=Cambridge University Press | 날짜=1897|언어=en}}</ref> 번사이드는 군론에서 수많은 보조정리들을 증명하였는데, "번사이드 보조정리"는 번사이드가 증명하지 않은 몇 안되는 보조정리 가운데 하나이다. 혹자는 이 보조정리를 "번사이드가 증명하지 않은 보조정리"라고 부르기도 한다.<ref>{{저널 인용 | last=Neumann | first=Peter M. | title=A lemma that is not Burnside’s | mr=562002 | 날짜=1979 | journal=The Mathematical Scientist | issn=0312-3685 | volume=4 | issue=2 | pages=133–141}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[포여 열거 정리]]

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Burnside lemma|id=Burnside_Lemma}}
* {{매스월드|id=Cauchy-FrobeniusLemma|title=Cauchy-Frobenius lemma}}

[[분류:군론]]
[[분류:보조정리]]