번분수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]에서 '''번분수'''(繁分數, {{llang|en|complex fraction, compound fraction}})는 [[분수 (수학)|분수]]의 분자 또는 분모 또는 둘 다가 분수인 경우를 뜻한다.<ref name="Trotter">{{서적 인용
|url=https://books.google.co.kr/books?id=a0sDAAAAQAAJ
|성=Trotter
|이름=James
|제목=A complete system of arithmetic
|날짜=1853
}}</ref>{{rp|65}}<ref name="Barlow">{{서적 인용
|url=https://archive.org/details/newmathematicalp00barluoft
|성=Barlow
|이름=Peter
|제목=A new mathematical and philosophical dictionary
|날짜=1814
}}</ref><ref>{{매스월드|id=ComplexFraction|title=Complex fraction|trans-title=번분수}}</ref><ref name="terms">{{웹 인용|제목=번분수|url=https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3338377&cid=47324&categoryId=47324|웹사이트=네이버 지식백과}}</ref><ref name="doopedia">{{웹 인용|제목=번분수[complex fraction,繁分數]|url=http://www.doopedia.co.kr/doopedia/master/master.do?_method=view&MAS_IDX=101013000728695|웹사이트=두피디아}}</ref> 모든 번분수는 일반적인 꼴의 분수로 고쳐 쓸 수 있다. 이는 추상적인 관점에서 [[분수체]]의 분수체는 자기 자신이기 때문이다.

== 단순화 ==
분자와 분모가 분수인 번분수
:<math>\frac{\,\dfrac ab\,}\dfrac cd</math>
는 분자와 분모가 정수인 분수의 꼴로 단순화할 수 있으며, 결과의 분자와 분모는 각각 [[비례식]] <math>a:b=c:d</math>의 내항 및 외항과 같다. 한 가지 방법은 가장 바깥 쪽의 분수를 [[나눗셈]] 기호로 생각하여 두 분수의 몫을 계산하는 것이다.<ref name="Trotter" />{{rp|78}}<ref name="Barlow" /><ref name="terms" /><ref name="doopedia" />
:<math>\frac{\,\dfrac ab\,}\dfrac cd=\frac ab\div\frac cd=\frac{ad}{bc}</math>
또 한 가지 방법은 분수의 분자와 분모에 동시에 같은 0이 아닌 수를 곱하면 분수의 값이 변하지 않는다는 성질을 사용한다.<ref name="terms" /> 분수의 분자와 분모가 [[정수]]가 되기 위해서는 분자의 분모의 [[배수]]이자 분모의 분모의 [[배수]]인 수를 곱해야 하며, 특히 이 둘의 곱을 곱하는수로 삼을 수 있다. 
:<math>\frac{\,\dfrac ab\,}\dfrac cd=\frac{\dfrac ab\times bd}{\dfrac cd\times bd}=\frac{ad}{bc}</math>

== 연분수 ==
번분수의 분자나 분모 역시 번분수일 수 있다.<ref name="terms" /> [[유한 연분수]]는 번분수의 특수한 경우이다.<ref name="terms" /> 유한 연분수 <math>[a_0;a_1,\cdots,a_n]</math>는 다음과 같이 정의된다.
:<math>[a_0;]=a_0</math>
:<math>[a_0;a_1,\cdots,a_n]=a_0+\frac1{[a_1;a_2,\cdots,a_n]}</math>
예를 들어 다음과 같은 번분수는 연분수이다. 가장 안쪽의 번분수부터 차례대로 정리하여 일반적인 분수 꼴이 되게 할 수 있다.
:<math>1+\frac1{2+\dfrac1{3+\dfrac14}}=1+\frac1{2+\dfrac1\dfrac{13}4}=1+\frac1{2+\dfrac4{13}}=1+\frac1\dfrac{30}{13}
=1+\frac{13}{30}=\frac{43}{30}</math>
[[무한 연분수]] <math>[a_0;a_1,a_2,\cdots]</math>는 이를 확장한 개념이며, 다음과 같이 극한으로 정의된다.
:<math>[a_0;a_1,a_2,\cdots]=\lim_{n\to\infty}[a_0;a_1,\cdots,a_n]</math>
예를 들어, <math>1=a_0=a_1=a_2=\cdots</math>를 취하면, [[황금비]]의 연분수 표현을 얻는다. 이는 (1, 1, 1, ...)을 유한 연분수의 정의에 대입한 뒤 극한을 취하면, 이 무한 연분수가 방정식 <math>x=1+\frac1{x}</math>의 양의 실수 해임을 알 수 있기 때문이다.

== 같이 보기 ==
* [[분수 (수학)]]
* [[나눗셈]]

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:분수]]