버치-스위너턴다이어 추측 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{밀레니엄 문제}}
[[수론]]에서 '''버치-스위너턴다이어 추측'''({{llang|en|Birch and Swinnerton-Dyer conjecture}})은 [[수체]] 상의 [[타원곡선]] E의 점들이 이루는 [[아벨 군]]의 계수와 그 [[하세-베유 L-함수]] L(E, s)의 s = 1에서 갖는 근의 차수가 같다는 추측이다. 수학의 주요 미해결 문제의 하나이다.

== 역사 ==
1965년에 브라이언 버치({{llang|en|Bryan Birch}})와 피터 스위너턴다이어({{llang|en|Peter Swinnerton-Dyer}})가 [[케임브리지 대학교]] [[에드삭]] 컴퓨터를 사용한 수치적 데이터를 바탕으로 이 추측을 발표하였다.<ref>{{저널 인용|last=Birch |first=Bryan |공저자=Peter Swinnerton-Dyer |날짜=1965 |title=Notes on elliptic curves II |journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik |volume=1965 |issue=218 |pages=79–108 |doi=10.1515/crll.1965.218.79|issn=0075-4102|zbl=0147.02506|언어=en}}</ref>

2014년에 이 추측은 계수가 1 이하인 경우 중에서도 특수한 경우에 대해서만 증명되어 있다. 이는 지난 40여년 간 미해결 문제로서 많은 연구를 유발시켰으며, 현재 수학에서 가장 중요한 문제 중 하나로 인정받고 있다. [[클레이 수학 연구소]]는 버치-스위너턴다이어 추측을 7개의 [[밀레니엄 문제]] 중 하나로 선정하고, 그 증명에 대해 백만 [[미국 달러]]의 상금을 걸었다.

== 정의 ==
[[수체]] <math>K</math>에 대한 [[타원곡선]] <math>E</math>의 [[유리점]]들 <math>E(K)</math>를 생각하자. [[모델-베유 정리]]에 따라, 이는 [[유한 생성 아벨 군]]을 이룬다. 유리점군 <math>E(K)</math>의 (아벨 군으로서의) [[계수 (아벨 군)|계수]]를 타원곡선 <math>E</math>의 '''계수'''({{llang|en|rank}}) <math>r</math>라고 한다. 이는 항상 음이 아닌 정수이다.

또한, 이 타원곡선에 대하여 [[하세-베유 L-함수]] <math>L(E,s)</math>를 정의할 수 있다. 여기서 <math>s</math>는 복소 변수이며, [[해석적 연속]]을 통해 복소 평면 전체로 연장시킬 수 있다.

'''버치-스위너턴다이어 추측'''에 따르면, [[하세-베유 L-함수]] <math>L(E,s)</math>의 <math>s=1</math>에서의 [[테일러 급수]]는 다음과 같은 꼴이다.<ref>{{서적 인용
| last=Wiles
| first=Andrew
| authorlink=앤드루 와일스
| chapter=The Birch and Swinnerton-Dyer conjecture
| editor1-last=Carlson
| editor1-first=James
| editor2-last=Jaffe
| editor2-first=Arthur
| editor2-link=Arthur Jaffe
| editor3-last=Wiles
| editor3-first=Andrew
| editor3-link=Andrew Wiles
| title=The Millennium prize problems
| publisher=American Mathematical Society
| 날짜=2006
| isbn=978-0-8218-3679-8
| chapterurl=http://www.claymath.org/sites/default/files/birchswin.pdf
| pages=31–44
| 언어=en
| access-date=2014-03-25
| archive-date=2018-03-29
| archive-url=https://web.archive.org/web/20180329033023/http://www.claymath.org/sites/default/files/birchswin.pdf
| url-status=
}}</ref>
:<math>L(E,s)=(s-1)^r\frac{\#\operatorname{Sha}(E)\Omega_E R_E \prod_{p|N}c_p}{(\#E_{\operatorname{Tor}})^2}+O((s-1)^{r+1})</math>

여기서 <math>s=1</math>에서의 영점의 계수는 타원곡선 <math>E</math>의 수론적인 데이터로 주어진다.
* <math>\#\operatorname{Sha}(E)</math>는 타원곡선 <math>E</math>의 [[테이트-샤파레비치 군]](Tate–Shafarevich group)의 원소의 개수이다. (이 군은 [[유한군]]인 것으로 추측되나, 증명되지 않았다.)
* <math>\#E_{\operatorname{Tor}}</math>는 타원곡선의 [[유리점]]군  <math>E(\mathbb Q)</math>의 [[꼬임 부분군]]의 원소의 개수이다.
* <math>R_E</math>는 <math>E(\mathbb Q)/E(\mathbb Q)_{\operatorname{Tor}}</math>의 기저를 잡아, 그 높이(height)로 정의한 <math>r\times r</math> 행렬의 [[행렬식]]이다.
* <math>c_p(E)</math>는 <math>E</math>의 기초 국소 인자(elementary local factor)이다.
* <math>\Omega_E(E)</math>는 <math>E</math>의 실수 주기(real period)의 단순 배수(simple multiple)이다.
버치와 스위너턴다이어는 원래 영점의 차수 <math>r</math>만을 추측하였다. 이후 [[존 테이트]]가 영점의 계수를 수론적인 데이터로 추측하였다.

== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:제타 함수와 L-함수]]
[[분류:디오판토스 기하학]]
[[분류:추측]]