배럴 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[함수해석학]]에서 '''배럴 공간'''({{llang|en|barreled space}}, {{llang|fr|espace tonnelé}})은 공간의 모든 배럴 집합이 [[영벡터]]의 [[근방]]인 하우스도르프 [[위상 벡터 공간]]이다. 위상 벡터 공간에서 '''배럴 집합''' 또는 '''배럴'''은 [[볼록 집합|볼록]], [[균형 집합|균형]], [[흡수 집합|흡수]] 그리고 [[닫힌 집합|닫힌]] [[집합]]이다. 배럴 공간은 [[바나흐-스테인하우스 정리]]의 한 형태가 이 공간에 적용되기 때문에 연구되었다.

== 역사 ==
[[니콜라 부르바키]]가 1950년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용
 | last = Bourbaki | first = Nicolas | authorlink = 니콜라 부르바키
 | journal = Annales de l’Institut Fourier
 | 언어=fr
 | mr = 0042609 | zbl=0042.35302
 | pages = 5–16
 | title = Sur certains espaces vectoriels topologiques
 | url = http://www.numdam.org/item?id=AIF_1950__2__5_0
 | volume = 2
 | 날짜 = 1950}}</ref>

== 예시 ==
* [[반노름 공간]]에서 [[단위구]]는 배럴이다.
* 모든 [[국소 볼록 공간]]은 배럴 집합으로 이루어진 근방 기저를 가진다. 그렇지만 공간 자체는 배럴 공간일 필요는 없다.
* [[프레셰 공간]], 그리고 특히 [[바나흐 공간]]은 배럴 공간이지만, 일반적으로 [[노름 공간]]은 배럴 공간이 아니다.
* [[몽텔 공간]]은 배럴 공간이다. 결과적으로, 몽텔 공간의 강한 쌍대는 배럴 공간이다 (왜냐하면 이것도 몽텔 공간기 때문이다).
* [[베르 공간]]인 [[국소 볼록 공간]]은 배럴 공간이다.

== 정의 ==
<math>K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>라고 하자. <math>K</math>-[[위상 벡터 공간]] <math>V</math> 속의 '''배럴'''({{llang|en|barrel}}, {{llang|fr|tonneau|토노}}) <math>B\subseteq V</math>는 다음 조건들을 만족시키는 [[부분 집합]]이다.
* [[볼록 집합]]이다.
* [[닫힌집합]]이다.
* (균형성) <math>\textstyle B\supseteq\bigcup_{a\in K}^{|a|\le1}aB</math>
* (흡수성) <math>\textstyle V=\bigcup_{a\in K}aB</math>

모든 배럴이 <math>0</math>의 [[근방]]을 이루는 [[국소 볼록 공간]]을 '''배럴 공간'''이라고 한다.

== 성질 ==
하우스도르프 [[국소 볼록 공간]] <math>X</math>와 연속 쌍대 <math>X'</math>에 대해서 다음 명제는 모두 동등하다:
* ''X''는 배럴이다,
* 모든 <math>\sigma(X', X)</math>을 경계로 가지는 연속 쌍대 공간 ''X'''의 부분집합은 동등연속이다 (이것은 바나흐-스테인하우스 정리의 부분 역을 제공한다),<ref name="Schaefer (1999) p. 127, 141, Treves (1995) p. 350">Schaefer (1999) p. 127, 141, Treves (1995) p. 350</ref>
* 연속 쌍대 공간 ''X'''의 모든 부분집합 ''A''에 대해서, 다음의 성질은 동등하다: ''A''는<ref name="Schaefer (1999) p. 127, 141, Treves (1995) p. 350"/>
** 동등연속이다,
** 상대적 약한 콤팩트이다,
** 강한 유계이다,
** 약한 유계이다,
* ''X''는 [[강한 위상 (극위상)|강한 위상]] <math>\beta(X, X')</math>을 지닌다,
* <math>X</math>에서 모든 낮은 반-연속 반노름은 연속이다,
* ''X''의 0-근방 기저와 <math>E_{\beta}'</math>의 유계 집합의 기본족은 [[극집합|극성]]으로 서로 대응한다.<ref name="Schaefer (1999) p. 127, 141, Treves (1995) p. 350"/>

추가로,
* 모든 순차적 완전 준배럴 공간은 배럴 공간이다.
* 배럴 공간은 [[몽텔 공간|몽텔]], 완전, [[거리화 가능 공간|거리화 가능]], 비순차적 베르같은, 또는 바나흐 공간의 유도한계일 필요는 없다.

=== 함의 관계 ===
모든 [[프레셰 공간]]은 배럴 공간이다. 그러나 배럴 공간이 아닌 [[노름 공간]]이 존재한다. [[베르 공간]]인 [[국소 볼록 공간]]은 항상 배럴 공간이다.
:[[바나흐 공간]] ⇒ [[프레셰 공간]] ⇒ 배럴 공간 ⇒ [[국소 볼록 공간]] ⇒ [[위상 벡터 공간]]

=== 균등 유계성 원리 ===
배럴 공간의 경우 다음과 같은 형태의 '''[[균등 유계성 원리]]'''가 성립한다.

배럴 공간 <math>V</math>와 [[국소 볼록 공간]] <math>W</math>가 주어졌다고 하자. 또한, <math>V\to W</math> [[유계 작용소]]들의 집합 <math>\mathcal F</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* (점별 유계성) 임의의 <math>v\in\mathcal F</math>에 대하여, <math>\{Fv\colon F\in\mathcal F\}</math>는 [[유계 집합]]이다.
* <math>\mathcal F</math>는 [[동등 연속 함수족]]이다.
* <math>\mathcal F</math>는 [[균등 동등 연속 함수족]]이다.

==준-배럴 공간==
공간의 모든 베럴 유계형 집합은 <math>0</math>의 [[근방]]인 [[위상 벡터 공간]] <math>X</math>은 준-배럴 공간이다. 어떤 집합이 <math>X</math>의 모든 유계 부분집합을 흡수하면 그 집합은 유계형 집합이다. 모든 배럴 공간은 준-배럴 공간이다.

For a [[국소 볼록 공간]] <math>X</math>과 연속 쌍대 <math>X'</math>에 대해서 다음 명제는 동등하다\:
* <math>X</math>가 준-배럴 공간이다,
* <math>X</math>의 모든 유계 낮은 반-연속 반노름은 연속이다,
* <math>\beta(X', X)</math>를 경계로 가지는 연속 쌍대 공간 모든 <math>X'</math>의 부분집합은 동등연속이다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 |last1=Robertson |first1=Alex P. |first2= Wendy J.|last2=Robertson |title= Topological vector spaces |series=Cambridge Tracts in Mathematics |volume=53 |year=1964 |publisher= [[Cambridge University Press]] | pages=65–75}}
* {{서적 인용 | last = Schaefer | first = Helmut H.  | year = 1971 | title = Topological vector spaces  | series=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]] | volume=3  | publisher = Springer-Verlag | location = New York | isbn = 0-387-98726-6 | page=60 }}
* {{서적 인용 | author=S.M. Khaleelulla | title=Counterexamples in Topological Vector Spaces | publisher=[[Springer-Verlag]] | series=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]] | volume=936 | date=1982 | isbn=978-3-540-11565-6 | pages=28-46 }}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Barrelled space}}
* {{nlab|id=barreled topological vector space|title=Barreled topological vector space}}

{{함수 해석학}}

{{전거 통제}}

[[분류:위상 벡터 공간]]