방향 (다양체) 문서 원본 보기

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[[미분기하학]]과 [[위상수학]]에서, [[다양체]]의 '''방향'''(方向, {{llang|en|orientation|오리엔테이션}})은 다양체 위에서 [[시계방향]] 및 반시계방향의 개념을 정의하는 구조이다. 향이 주어진 다양체를 '''유향 다양체'''(有向多樣體, {{lang|en|oriented manifold}})라고 한다. 향을 줄 수 있는 다양체를 '''가향 다양체'''(可向多樣體, {{lang|en|orientable manifold}})라고 한다. 예를 들어, [[구 (기하학)|구]]는 방향을 줄 수 있지만, [[클라인 병]]은 방향을 줄 수 없다.

== 정의 ==
=== 위상다양체의 방향 ===
<math>M</math>이 <math>n</math>차원 [[위상다양체]]라고 하자. 다양체는 국소적으로 [[유클리드 공간]]과 [[위상 동형]]이므로, 모든 점 <math>x\in M</math>에 대하여, [[상대 호몰로지]] 군 <math>\operatorname H_n(M,M\setminus\{x\})</math>은
:<math>\operatorname H_n(M,M\setminus\{x\}) \cong \operatorname H_n(\mathbb R^n / (\mathbb R^n \setminus\{0\}) ) \cong \operatorname H_n(\mathbb S^n) \cong \mathbb Z</math>
의 꼴이다.

이들을 [[줄기 (수학)|줄기]]로 하는, [[아벨 군]] 값의 [[국소 상수층]] <math>\omega_M</math>이 존재한다. 이를 <math>M</math>의 '''방향층'''(方向層, {{llang|en|orientation sheaf}})이라고 한다. 물론, 정수환 <math>\mathbb Z</math> 대신 다른 [[가환환]] <math>R</math> 계수를 사용할 수 있으며, 이 경우 <math>R</math>-[[가군]]의 [[국소 상수층]] <math>\omega_M \otimes R</math>를 얻는다.

점 <math>x\in M</math>에서의 '''국소 방향'''(局所方向, {{llang|en|local orientation}})은 [[무한 순환군]] <math>\operatorname H_n(M,M\setminus\{x\})</math>의 두 생성원 가운데 하나이다.

<math>M</math> 위의 '''방향'''은 방향층 <math>\omega_M</math>의 단면 가운데, 각 점 <math>x\in X</math>에서 국소 방향을 이루는 것이다. 구체적으로, 이는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* [[열린 덮개]] <math>(U_i)_{i\in I}</math>. 또한, 각 <math>i\in I</math>에 대하여 <math>U_i</math>가 [[축약 가능 공간]]이라고 하자.
** 이에 따라, 임의의 <math>i\in I</math>에 대하여, <Math>U_i</math> 속의 임의의 두 점 <math>x,y\in U_i</math>에 대하여, 표준적인 군 [[동형 사상]] <math>\operatorname H_n(M,M\setminus\{x\}) \cong \operatorname H_n(M,M\setminus\{y\})</math>가 존재한다.
* 각 <math>i\in I</math> 및 <math>U_i</math> 속의 임의의 점 <math>x\in M</math>에 대하여, 국소 방향 <math>e_x \in \operatorname H_n(M,M\setminus\{x\})</math>. 또한, 위의 동형 사상을 통하여 임의의 <Math>x'\in U_i</math> 속에 <math>(x',i)</math>에서의 국소 방향을 정의할 수 있다.
이는 다음 조건을 따라야 한다.
* 임의의 <math>i,j\in I</math> 및 <math>x\in U_i \cap U_j</math>에 대하여, <math>(x,i)</math>에서의 국소 방향이 <math>(x,j)</math>에서의 국소 방향과 일치한다.

=== 미분다양체의 방향 ===
<math>M</math>이 <math>n</math>차원 [[매끄러운 다양체]]라고 하자. 그렇다면 <math>M</math> 위의 '''방향'''은 항상 0이 아닌 <math>n</math>차 [[미분 형식]]의 [[동치류]]다. 만약 두 <math>n</math>차 [[미분 형식]] <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>가 <math>\alpha=f\beta</math>의 꼴이고, <math>f</math>가 [[매끄러운 함수]]이며, 항상 0이 아닌 함수라면 <math>\alpha\sim\beta</math>로 간주한다.

이 정의는 위상다양체의 방향의 정의와 [[동치]]이다.

== 연산 ==
같은 차원의 두 다양체 <math>M</math>, <math>N</math>의 방향이 주어졌다고 하자. 그렇다면 [[분리합집합]] <math>M \sqcup N</math> 역시 표준적인 방향을 갖는다.

(서로 다른 차원을 가질 수 있는) 두 다양체 <math>M</math>, <math>N</math>의 방향이 주어졌다고 하자. 그렇다면 [[곱공간]] <math>M \times N</math> 역시 표준적인 방향을 갖는다.

유향 다양체 <math>M</math>의 [[열린집합]]인 부분 다양체 역시 표준적인 방향을 갖는다. 그러나 이는 임의의 부분 다양체에 대하여 성립하지 않는다. (예를 들어, [[뫼비우스의 띠]]는 방향을 가질 수 없지만, 방향을 가질 수 있는 3차원 [[유클리드 공간]]의 부분 다양체이다.)

== 성질 ==
=== 경계다양체 ===
<math>n</math>차원 [[경계다양체]] <math>(M,\partial M)</math>의 내부 <math>M \setminus \partial M</math>는 <math>n</math>차원 [[다양체]]를 이루며, <math>\partial M</math>은 <math>n-1</math>차원 [[다양체]]를 이룬다. <math>M\setminus \partial M</math>의 방향이 주어졌을 때, 이는 <math>\partial M</math>의 방향을 표준적으로 결정한다. 즉, 경계다양체의 경우 내부의 방향이 경계의 방향을 결정한다. 특히, 가향 경계다양체의 경계는 가향 다양체이다.

=== 복소다양체 ===
모든 [[복소다양체]]는 표준적인 방향을 갖는다. 구체적으로, <math>n</math>차원 [[복소다양체]] <Math>M</math>의 [[열린 덮개]] <math>(U_i)_{i\in I}</math>의 복소수 국소 좌표계
:<math>(\phi_i \colon U_i\to \mathbb C^n)_{i\in I}</math>
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 전이 함수
:<math>\phi_j \circ \phi_i^{-1} \colon \phi_i^{-1}(U_i\cap U_j) \to \mathbb C^n</math>
는 [[정칙 함수]]이므로 방향을 보존하며, 따라서 이는 <math>M</math>의 방향을 정의한다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Orientation}}
* {{매스월드|id=ManifoldOrientation|title=Manifold orientation}}
* {{웹 인용|날짜=2007-11-11|url=http://www.math.cornell.edu/~goldberg/Notes/Orientation.pdf|이름=Timothy E.|성=Goldberg|제목=The Orientation Manifesto (for Undergraduates)}}

[[분류:기하학적 위상수학]]
[[분류:미분기하학]]