방접원 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Incircle and Excircles.svg|right|섬네일|삼각형의 [[내접원]]과 방접원]]
[[기하학]]에서 '''방접원'''(傍接圓, {{llang|en|excircle}})은 주어진 [[삼각형]]의 한 변에 접하고 남은 두 변의 연장선에 접하는 [[원 (기하학)|원]]이다. '''방심'''(傍心, {{llang|en|excenter}})은 방접원의 중심을 일컫는다. 방심은 삼각형의 한 내각과 그와 이웃하지 않은 두 [[각의 이등분선|외각의 이등분선]]이 만나는 점이다. 삼각형에는 세 변을 따라 3개의 방접원과 3개의 방심이 있다.

== 정의 ==
[[삼각형]] <math>ABC</math>의 세 변의 직선에 동시에 접하는 [[원 (기하학)|원]]은 정확히 4개 존재한다. 한 원은 세 변의 내부에서 접하며, 이를 [[삼각형]] <math>ABC</math>의 '''[[내접원]]'''이라고 한다. 남은 3개의 원은 각각 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>의 대변의 내부와 남은 두 변의 연장선에서 접하며, 이들을 각각 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>와 마주보는 [[삼각형]] <math>ABC</math>의 '''방접원'''이라고 한다. 세 방접원의 중심을 '''방심''' <math>J_A</math>, <math>J_B</math>, <math>J_C</math>라고 한다. 세 방심을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 '''방심 삼각형'''(傍心三角形, {{llang|en|excenter triangle}}) <math>J_AJ_BJ_C</math>라고 한다. 방심 삼각형의 [[외접원]]을 '''베번 원'''({{lang|en|Bevan}}圓, {{llang|en|Bevan circle}})이라고 하며, 베번 원의 중심(즉, 방심 삼각형의 [[외심]])을 '''베번 점'''({{lang|en|Bevan}}點, {{llang|en|Bevan point}}) <math>V</math>라고 한다.

== 성질 ==
방심과 삼각형의 세 변 사이의 거리는 같다. 이는 이 방심을 중심으로 하는 방접원의 반지름이다. 방심은 두 외각의 이등분선과 남은 한 내각의 이등분선의 교점이다.

[[포이어바흐 정리]]에 따르면, 삼각형의 [[구점원]]은 이 삼각형의 세 방접원과 외접하고 내접원과 내접한다.

=== 반지름 ===
삼각형 <math>ABC</math>의 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>의 대변의 길이를 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>라고 하고, [[반둘레]]를 <math>s</math>라고 하고, [[넓이]]를 <math>S</math>라고 하자. 또한 [[외접원]]과 [[내접원]]의 반지름을 각각 <math>R</math>와 <math>r</math>라고 하고, 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>와 마주보는 방접원의 반지름을 <math>r_A</math>, <math>r_B</math>, <math>r_C</math>라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 항등식들이 성립한다.<ref name="Coxeter">{{서적 인용
|성1=Coxeter
|이름1=H. S. M.
|저자링크1=해럴드 스콧 맥도널드 콕서터
|성2=Greitzer
|이름2=S. L.
|기타=Buehler, George H. 삽화
|제목=Geometry Revisited
|언어=en
|출판사=Mathematical Association of America
|위치=Washington, D.C.
|날짜=1967
|isbn=0-88385-619-0
}}</ref>{{rp|13, §1.4, Exercise 5}}<ref name="Isaacs">{{서적 인용
|성=Isaacs
|이름=I. Martin
|제목=Geometry for College Students
|언어=en
|총서=The Brooks/Cole Series in Advanced Mathematics
|출판사=Brooks/Cole
|날짜=2001
|isbn=0-534-35179-4
}}</ref>{{rp|80, §2F, Theorem 2.34}}
:<math>r_A=\frac S{s-a}=\sqrt{\frac{s(s-b)(s-c)}{s-a}}=s\tan\frac A2</math>
:<math>r_B=\frac S{s-b}=\sqrt{\frac{s(s-a)(s-c)}{s-b}}=s\tan\frac B2</math>
:<math>r_C=\frac S{s-c}=\sqrt{\frac{s(s-a)(s-b)}{s-c}}=s\tan\frac C2</math>
:<math>\frac 1{r_A}+\frac 1{r_B}+\frac 1{r_C}=\frac 1r</math>
:<math>r_A+r_B+r_C-r=4R</math>

=== 접점 ===
삼각형 <math>ABC</math>의 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>와 마주보는 방접원의 대변과의 접점을 <math>T_A'</math>, <math>T_B'</math>, <math>T_C'</math>이라고 하자. 그렇다면 직선 <math>AT_A'</math>, <math>BT_B'</math>, <math>CT_C'</math>은 모두 삼각형 <math>ABC</math>의 [[둘레]]를 이등분한다. 즉, [[반둘레]]를 <math>s</math>라고 할 때 다음이 성립한다.
:<math>BT_C'=CT_B'=s-a</math>
:<math>CT_A'=AT_C'=s-b</math>
:<math>AT_B'=BT_A'=s-c</math>

=== 방심 삼각형과 베번 점 ===
삼각형 <math>ABC</math>의 내심을 <math>I</math>, 각 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>와 마주보는 방심을 <math>J_A</math>, <math>J_B</math>, <math>J_C</math>라고 하자. 그렇다면 방심 삼각형의 꼭짓점 <math>J_A</math>, <math>J_B</math>, <math>J_C</math>에서 대변에 내린 수선의 발은 각각 점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>가 되며, 세 수선의 교점은 내심 <math>I</math>가 된다. 특히, 삼각형의 [[내심]]은 방심 삼각형의 [[수심 (기하학)|수심]]이며, 삼각형의 내심과 세 방심은 [[수심계]]를 이룬다.<ref name="Honsberger">{{서적 인용
|성=Honsberger
|이름=Ross
|제목=Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry
|언어=en
|총서=New Mathematical Library
|권=37
|출판사=The Mathematical Association of America
|위치=Washington
|날짜=1995
|isbn=0-88385-639-5
}}</ref>{{rp|28, §3.2}} 모든 삼각형의 [[외심]]은 [[내심]]과 베번 점의 [[중점 (기하학)|중점]]이다.<ref name="Honsberger" />{{rp|29, §3.2}} 모든 삼각형의 [[슈피커 중심]]은 수심과 베번 점의 중점이다.<ref name="Honsberger" />{{rp|27, §3.2}} 삼각형 <math>ABC</math>의 한 꼭짓점 <math>A</math>에서 대변에 내린 수선의 중점 <math>(A+H_A)/2</math>, 그 꼭짓점과 마주보는 방접원의 접점 <math>T_A'</math>, 그리고 내심 <math>I</math>는 같은 직선 위에 있다.<ref name="Honsberger" />{{rp|30, §3.3}}

방심 삼각형의 [[수심 삼각형]], 또는 수심 삼각형의 방심 삼각형은 원래 삼각형이다. 즉, 수심 삼각형과 방심 삼각형을 취하는 연산은 서로 역연산이다.

삼각형 <math>ABC</math>의 반둘레를 <math>s</math>라고 하고, 외접원의 반지름을 <math>R</math>라고 하자. 그렇다면 방심 삼각형의 넓이는 다음과 같다.
:<math>S_{J_AJ_BJ_C}=2sR</math>

=== 나겔 점과 외촉 삼각형 ===
[[파일:Extouch Triangle and Nagel Point.svg|섬네일|나겔 점과 외촉 삼각형]]
삼각형 <math>ABC</math>의 각 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>를 마주보는 방접원과 대변의 접점을 각각 <math>T_A'</math>, <math>T_B'</math>, <math>T_C'</math>라고 하자. 그렇다면 [[체바 정리]]에 따라 선분 <math>AT_A'</math>, <math>BT_B'</math>, <math>CT_C'</math>는 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형 <math>ABC</math>의 '''나겔 점'''({{llang|en|Nagel point}})) <math>X_8</math>이라고 한다.<ref name="Honsberger" />{{rp|5, §1.2}} 나겔 점에 대한 [[체바 삼각형]](즉, 세 방접원의 접점을 꼭짓점으로 하는 삼각형)을 '''외촉 삼각형'''({{llang|en|extouch triangle}}) <math>T_A'T_B'T_C'</math>이라고 한다. 나겔 점의 이름은 [[독일]]의 수학자 크리스티안 하인리히 폰 나겔({{llang|de|Christian Heinrich von Nagel}})에서 왔다.
{{증명}}
꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>의 대변의 길이를 각각 <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>라고 하고, [[반둘레]]를 <math>s</math>라고 하자. 그렇다면
:<math>BT_C'=CT_B'=s-a</math>
:<math>AT_C'=CT_A'=s-b</math>
:<math>AT_B'=BT_A'=s-c</math>
이므로,
:<math>\frac{AT_C'}{T_C'B}\cdot\frac{BT_A'}{T_A'C}\cdot\frac{CT_B'}{T_B'A}=1</math>
이다. [[체바 정리]]에 의하여, <math>AT_A'</math>, <math>BT_B'</math>, <math>CT_C'</math>는 [[공점선]]이다.
{{증명 끝}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Nagel point}}
* {{매스월드|id=Excircles|제목=Excircles}}
* {{매스월드|id=Excenter|제목=Excenter}}
* {{매스월드|id=Exradius|제목=Exradius}}
* {{매스월드|id=ExcentralTriangle|제목=Excentral triangle}}
* {{매스월드|id=NagelPoint|제목=Nagel point}}
* {{매스월드|id=ExtouchTriangle|제목=Extouch triangle}}

{{오심}}

[[분류:삼각 기하학]]