발산 (벡터) 문서 원본 보기

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[[벡터 미적분학]]에서 '''발산'''(發散) 또는 '''다이버전스'''(Divergence)는 [[벡터장]]이 정의된 공간의 한 점에서의 장이 퍼져 나오는지, 아니면 모여서 없어지는지의 정도를 측정하는 연산자이다. 예를 들어 마개를 열어 물이 빠지고 있는 [[욕조]] 안의 물의 각 지점에서의 물의 속도로 주어지는 벡터장의 경우, 물이 빠지는 마개가 있는 지점의 다이버전스 값은 음이 된다. (이때 물이 빠지는 하수구 방향의 속도는 생각지 않고 물이 마개지점에서 사라진다고 생각하자.) 그리고 그 이외의 지점에서의 발산 값은 물이 갑자기 생기거나 없어지지 않으므로 0이 된다.

== 정의 ==
다이버전스는 부피에 비해 작은 영역의 표면을 지나는 벡터장의 순흐름이다. 닫힌 평면의 면적분은 밖으로 빠져나오는 벡터 플럭스(flux)의 합을 나타낸다. 즉,
:<math>\operatorname{div}\,\mathbf{F} = 
\lim_{V \rightarrow 0}
\iint_{S(V)} {\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} \over V } \; dS </math>
여기서 <math>V</math>는 '''R'''<sup>3</sup>에서 점 p를 포함하는 임의의 부피가 되고, <math>S(V)</math>는 주어진 부피의 표면적이 된다.

=== 직교좌표계에서의 응용 ===
x, y, z 가 3차원 [[유클리드 공간]]을 나타내는 [[직교좌표계]]라 하고, '''i''', '''j''', '''k'''를 각각에 해당하는 [[단위벡터]]라고 하자.

연속이고 미분가능한 벡터장이

:{{수학|1='''F''' = ''F<sub>x</sub>'' '''i''' + ''F<sub>y</sub>'' '''j''' + ''F<sub>z</sub>'' '''k'''}}

으로 정의되어 있을 때, 벡터장의 발산은 각 지점에서 다음과 같은 스칼라 값을 갖는 스칼라 함수가 된다.

:<math>\operatorname{div}\,\mathbf{F}
=\frac{\partial F_x}{\partial x}
+\frac{\partial F_y}{\partial y}
+\frac{\partial F_z}{\partial z} </math>

발산은 또한 <math> \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{F}</math>으로 많이 쓰고, [[나블라 연산자]](혹은 델 연산자, <math>\boldsymbol{\nabla}</math>)와 벡터장 사이의 도트는 벡터 간의 [[내적]]을 연상시키기 때문에 <math> \boldsymbol{\nabla} </math>를 하나의 벡터로 보고 각 성분을 좌표의 편미분으로 생각하면 정의와 부합한다.

== 같이 보기 ==
* [[발산 정리]](divergence theorem)

{{미적분학 주제}}
{{전거 통제}}

[[분류:벡터 미적분학]]
[[분류:미분 연산자]]