반환 (수학) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{대수 구조}}
[[추상대수학]]에서 '''반환'''(半環, {{llang|en|semiring}}, {{lang|en|rig}})은 [[환 (수학)|환]]과 유사하지만 덧셈의 역원이 존재하지 않는 [[대수 구조]]이다. 즉, 덧셈에 대하여 [[가환 모노이드]]를, 곱셈에 대하여 [[모노이드]]를 이루며, [[분배 법칙]]이 성립하는 [[대수 구조]]이다.

== 정의 ==
'''반환'''({{llang|en|semiring}}) <math>(R,0,+,1,\cdot)</math>은 다음과 같은 연산이 갖추어진 [[대수 구조]]이다.
* <math>(R,0,+)</math>는 가환 모노이드를 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
** (덧셈의 [[결합 법칙]]) 모든 원소 <math>r,s,t\in R</math>에 대하여 <math>(r+s)+t=r+(s+t)</math>이다.
** (덧셈의 [[교환 법칙]]) 모든 원소 <math>r,s\in R</math>에 대하여 <math>r+s=s+r</math>이다.
** (덧셈의 항등원) 모든 원소 <math>r\in R</math>에 대하여 <math>r+0=r</math>이다.
* <math>(R,1,\cdot)</math>는 [[모노이드]]를 이룬다.
** (곱셈의 [[결합 법칙]]) 모든 원소 <math>r,s,t\in R</math>에 대하여 <math>(rs)t=r(st)</math>이다.
** (곱셈의 항등원) 모든 원소 <math>r\in R</math>에 대하여 <math>r1=1r=r</math>이다.
* ([[분배 법칙]]) 모든 원소 <math>r,s,t\in R</math>에 대하여, <math>r(s+t)=rs+rt</math>이며 <math>(s+t)r=sr+tr</math>이다.
* (0과의 곱) 모든 원소 <math>r\in R</math>에 대하여, <math>0r=r0=0</math>이다.

'''유사 반환'''({{llang|en|pseudo-semiring}}, {{lang|en|hemiring}}) <math>(R,0,+,\cdot)</math>은 다음과 같은 연산이 갖추어진 [[대수 구조]]이다.
* <math>(R,0,+,-)</math>는 가환 [[모노이드]]를 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
** (덧셈의 [[결합 법칙]]) 모든 원소 <math>r,s,t\in R</math>에 대하여 <math>(r+s)+t=r+(s+t)</math>이다.
** (덧셈의 [[교환 법칙]]) 모든 원소 <math>r,s\in R</math>에 대하여 <math>r+s=s+r</math>이다.
** (덧셈의 항등원) 모든 원소 <math>r\in R</math>에 대하여 <math>r+0=r</math>이다.
* <math>(R,\cdot)</math>는 [[반군]]을 이룬다.
** (곱셈의 [[결합 법칙]]) 모든 원소 <math>r,s,t\in R</math>에 대하여 <math>(rs)t=r(st)</math>이다.
* ([[분배 법칙]]) 모든 원소 <math>r,s,t\in R</math>에 대하여, <math>r(s+t)=rs+rt</math>이며 <math>(s+t)r=sr+tr</math>이다.
* (0과의 곱) 모든 원소 <math>r\in R</math>에 대하여, <math>0r=r0=0</math>이다.

[[환 (수학)|환]] 또는 [[유사환]]의 정의에서, <Math>0r=r0=0</math>이라는 성질은 환 (또는 [[유사환]])의 다른 공리들로부터 유도되므로 따로 명시하지 않아도 된다. 그러나 (유사) 반환의 경우 이 조건을 따로 명시해야만 한다.

== 예 ==
모든 [[환 (수학)|환]]은 반환을 이루며, 모든 [[유사환]]은 유사 반환을 이룬다.

=== 자연수 ===
[[자연수]]의 집합
:<math>\mathbb N=\{0,1,2,\dots\}</math>
은 표준적인 덧셈과 곱셈 연산을 통하여 반환을 이룬다. 임의의 양의 정수 <math>n\in\mathbb Z^+</math>에 대하여 <math>\{0\}\cup\{n,n+1,n+2,\dots\}</math>는 표준적인 덧셈과 곱셈 연산을 통하여 유사 반환을 이룬다.

=== 아이디얼 ===
[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 속의 [[양쪽 아이디얼]]들의 집합은 아이디얼의 덧셈과 곱셈에 대하여 반환을 이룬다. 이 경우 덧셈 항등원은 [[영 아이디얼]] <math>\{0\}</math>이며, 곱셈 항등원은 전체 아이디얼 <math>R</math>이다.

=== 분배 격자 ===
모든 [[유계 격자|유계]] [[분배 격자]] (예를 들어, [[불 대수]])는 만남과 이음을 통하여 반환을 이룬다. 이 경우, 덧셈을 만남으로, 곱셈을 이음으로 삼거나, 또는 곱셈을 만남으로, 덧셈을 이음으로 삼아 두 개의 반환 구조를 줄 수 있다. 덧셈이 만남일 경우 덧셈 항등원은 [[최소 원소]] <math>\bot</math>, 곱셈 항등원은 [[최대 원소]] <math>\top</math>이며, 덧셈이 이음일 경우 덧셈 항등원은 <math>\top</math>, 곱셈 항등원은 <math>\bot</math>이다.

== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|성=Golan|이름=Jonathan S.|제목=Semirings and their applications|출판사=Kluwer Academic Publishers|날짜=1999|isbn=978-0-7923-5786-5|mr=1746739|doi=10.1007/978-94-015-9333-5|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Semi-ring}}
* {{매스월드|id=Semiring|title=Semiring}}
* {{매스월드|id=Ringoid|title=Ringoid}}
* {{nlab|id=rig|title=Rig}}
* {{nlab|id=idempotent semiring |title=Idempotent semiring}}
* {{nlab|id=tropical semiring |title=Tropical semiring }}
* {{nlab|id=near-ring|title=Near-ring}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Additive_Semiring|제목=Definition: additive semiring}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Semiring|제목=Definition: semiring}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Ringoid|제목=Definition: ringoid|확인날짜=2016-03-21|보존url=https://web.archive.org/web/20140424173440/http://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Ringoid#|보존날짜=2014-04-24|url-status=dead}}

{{전거 통제}}

[[분류:추상대수학]]