반원시환 문서 원본 보기

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[[환론]]에서 '''반원시환'''(半原始環, {{llang|en|semiprimitive ring}})은 [[반단순 가군]]만으로 완전히 구조를 알 수 있는 [[환 (수학)|환]]이다. [[원시환]]의 [[직접곱]]의 [[부분환]]이며, [[제이컵슨 근기]]가 0인 환이다.

== 정의 ==
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 환을 '''반원시환'''이라고 한다.
* [[제이컵슨 근기]]가 영 아이디얼이다.
* [[충실한 가군|충실한]] 왼쪽 [[반단순 가군]]을 갖는다.
* [[충실한 가군|충실한]] 오른쪽 [[반단순 가군]]을 갖는다.
* 왼쪽 원시환들의 [[부분직접곱]]이다. 즉, 왼쪽 원시환 <math>R_i</math>들의 [[직접곱]] <math>\textstyle\prod_iR_i</math>의 부분환과 동형이며, 이에 따른 사영 준동형 <math>R\to R_i</math>는 모두 [[전사 함수]]이다.
* 오른쪽 원시환들의 부분직접곱이다.

== 성질 ==
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.<ref name="Lam">{{서적 인용|제목=A first course in noncommutative rings|성 = Lam|이름=Tsit-Yuen|저자링크=람짓윈|출판사=Springer|날짜 = 2001|isbn =978-0-387-95183-6|doi=10.1007/978-1-4419-8616-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=131|issn=0072-5285|판=2|언어=en}}</ref>{{rp|173}}
{| style="text-align: center"
| [[반단순환]] || ⇒ || 반원시환 || ⇒ || [[반소환]]
|-
||  || || ⇑ || || ⇑
|-
| [[단순환]] || ⇒ || 左·右 [[원시환]] || ⇒ || [[소환 (환론)|소환]]
|}
또한, 모든 [[폰 노이만 정칙환]]({{llang|en|von Neumann regular ring}})은 반원시환이다.

왼쪽 [[아르틴 환]] 또는 오른쪽 [[아르틴 환]]의 경우, [[반단순환]] · 반원시환 · [[반소환]]의 개념이 일치하며, [[단순환]] · 왼쪽 원시환 · 오른쪽 원시환 · [[소환 (환론)|소환]]의 개념이 일치한다.

반원시환들의 [[직접곱]]은 반원시환이다.

== 예 ==
[[정수환]] <math>\mathbb Z</math>는 반원시환이지만 [[아르틴 환]]이 아니며, 따라서 [[반단순환]]이 아니다. 정수환의 경우, 다음과 같이 [[소수 (수론)|소수]] 크기의 [[유한체]]들의 [[직접곱]]의 부분환으로 나타내어지므로 반원시환이다.
:<math>\mathbb Z\hookrightarrow\prod_p\mathbb F_p</math>
:<math>n\mapsto(n\mod p)_{p=2,3,5,\dots}</math>
정수환 위의 [[가군]]은 [[아벨 군]]이며, 정수환 위의 [[단순 가군]]은 아벨 [[단순군]]이므로 소수 크기의 [[순환군]]이며, 정수환 위의 [[반단순 가군]]은 소수 크기의 순환군들의 [[직합]]이다. 다음과 같은 [[아벨 군]]은 정수환 위의 [[충실한 가군|충실한]] [[반단순 가군]]을 이루므로, 정수환이 반원시환임을 다른 방법으로 알 수 있다.
:<math>\bigoplus_{p=2,3,5,\dots}\operatorname{Cyc}(p)</math>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Jacobson radical}}
* {{웹 인용|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Semiprimitive_ring|제목=Semiprimitive ring|웹사이트=Commalg|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://qchu.wordpress.com/2012/05/30/the-jacobson-radical/|제목=The Jacobson radical|웹사이트=Annoying precision|이름=Qiaoyu|성=Yuan|날짜=2012-05-30|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:환론]]