반연속 함수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[해석학 (수학)|해석학]]과 [[위상수학]]에서 '''상반연속 함수'''(上半連續函數, {{llang|en|upper semicontinuous function}})와 '''하반연속 함수'''(下半連續函數, {{llang|en|lower semicontinuous function}})는 [[연속 함수]]의 성질을 약화한 개념이다. 대략, 상반연속 함수에서, 정의역의 점이 <math>x</math>에 가까울 때 함수의 값은 <math>f(x)</math>에 가깝거나 보다 작다. 반대로, 하반연속 함수의 정의역의 점이 <math>x</math>에 가까우면 함수 값은 <math>f(x)</math>에 가깝거나 크다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에서 [[전순서 집합]] <math>(Y,\le)</math>로 가는 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''상반연속 함수'''라고 한다.
* <math>Y</math>에 [[하위상]]을 가했을 때, <math>f</math>는 [[연속 함수]]이다. 즉, 임의의 <math>y\in Y</math>에 대하여, <math>\{x\in X\colon f(x)<y\}</math>는 [[열린집합]]이다.
마찬가지로, <math>f</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''하반연속 함수'''라고 한다.
* <math>Y</math>에 [[상위상]]을 가했을 때, <math>f</math>는 [[연속 함수]]이다. 즉, 임의의 <math>y\in Y</math>에 대하여, <math>\{x\in X\colon f(x)>y\}</math>는 [[열린집합]]이다.

=== 실수 값 함수 ===
실수 값의 함수의 경우 상·하반연속 함수의 개념은 [[상극한과 하극한]]을 통해 정의할 수 있다. 즉, [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에서 [[실수선]]으로 가는 [[함수]] <math>f\colon X\to\mathbb R</math>가 주어졌을 때, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 상반연속 함수이다.
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>\limsup_{y\to x}f(y)\le f(x)</math>

마찬가지로, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 하반연속 함수이다.
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>\liminf_{y\to x}f(y)\ge f(x)</math>

== 성질 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에서 [[전순서 집합]] <math>(Y,\le)</math>로 가는 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>f</math>는 상반연속 함수이다.
* <math>f</math>를 반대 전순서 집합 <math>(Y,\le)^{\operatorname{op}}=(Y,\ge)</math>를 공역으로 하는 함수로 여겼을 때, 하반연속 함수이다.

특히, <math>x\mapsto-x</math>가 실수의 전순서 집합과 그 반대 전순서 집합 사이의 [[순서 동형]]이므로, [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에서 [[실수선]]으로 가는 [[함수]] <math>f\colon X\to\mathbb R</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>f</math>는 상반연속 함수이다.
* <math>-f</math>는 하반연속 함수이다.

=== 연속 함수와의 관계 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에서 [[전순서 집합]] <math>(Y,\le)</math>로 가는 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[공역]]에 [[순서 위상]]을 가했을 때, [[연속 함수]]이다.
* 상반연속 함수이자 하반연속 함수이다.
이는 [[순서 위상]]이 [[하위상]]과 [[상위상]]보다 섬세한 가장 엉성한 위상이기 때문이다.

상반연속 또는 하반연속 함수 <math>X\to\mathbb R</math>의 [[불연속점]]의 집합은 [[제1 범주 집합]]을 이룬다.

=== 정규성과의 관계 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[정규 공간]]이다.
* 임의의 상반연속 함수 <math>f\colon X\to\mathbb R</math> 및 하반연속 함수 <math>g\colon X\to\mathbb R</math>에 대하여, 만약 <math>\forall x\in X\colon f(x)\le g(x)</math>라면, <math>\forall x\in X\colon f(x)\le h(x)\le g(x)</math>인 [[연속 함수]] <math>h\colon X\to\mathbb R</math>가 존재한다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Willard">{{서적 인용
|성1=Willard
|이름1=Stephen
|제목=General topology
|url=https://archive.org/details/generaltopology00will_0
|언어=en
|총서=Addison-Wesley Series in Mathematics
|출판사=Addison-Wesley
|위치=Reading, Massachusetts; Menlo Park, California; London; Don Mills, Ontario
|날짜=1970
|isbn=978-0-201-08707-9
|mr=0264581
|zbl=0205.26601
}}</ref>{{rp|159, Exercise 21B}}
* [[정규 공간]]이며, [[가산 파라콤팩트 공간]]이다.
* 임의의 상반연속 함수 <math>f\colon X\to\mathbb R</math> 및 하반연속 함수 <math>g\colon X\to\mathbb R</math>에 대하여, 만약 <math>\forall x\in X\colon f(x)<g(x)</math>라면, <math>\forall x\in X\colon f(x)<h(x)<g(x)</math>인 [[연속 함수]] <math>h\colon X\to\mathbb R</math>가 존재한다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[완전 정규 공간]]이다.
* 임의의 상반연속 함수 <math>f\colon X\to\mathbb R</math> 및 하반연속 함수 <math>g\colon X\to\mathbb R</math>에 대하여, 만약 <math>\forall x\in X\colon f(x)\le g(x)</math>라면, <math>\forall x\in X\colon f(x)\le h(x)\le g(x)</math>이며, <math>f(x)<g(x)</math>일 때 <math>f(x)<h(x)<g(x)</math>인 [[연속 함수]] <math>h\colon X\to\mathbb R</math>가 존재한다.

=== 연산에 대한 닫힘 ===
임의의 상(하)반연속 함수 <math>f,g\colon X\to Y</math>에 대하여,
:<math>x\mapsto\min\{f(x),g(x)\}</math>
:<math>x\mapsto\max\{f(x),g(x)\}</math>
는 둘 다 상(하)반연속 함수이다.

임의의 상(하)반연속 함수 <math>f,g\colon X\to\mathbb R</math>에 대하여, 두 함수의 합
:<math>f+g\colon X\to\mathbb R</math>
는 상(하)반연속 함수이다.

임의의 상(하)반연속 함수 <math>f,g\colon X\to[0,\infty)</math>에 대하여, 곱
:<math>f\cdot g\colon X\to[0,\infty)</math>
는 상(하)반연속 함수이다.

== 예 ==
[[파일:Upper_semi.png|섬네일|오른쪽|위에서 반연속인 함수. 진한 푸른 점은 f(c)를 의미한다.]]
다음과 같이 조각적으로 정의된 함수 f = −1 (x < 0 에 대해) and f = 1 (x ≥ 0 에 대해)를 생각해보자. 이 함수는 c = 0에서 위에서 반연속이다. 하지만 아래서 반연속은 아니다.

[[파일:Lower_semi.png|섬네일|오른쪽|아래서 반연속인 함수. 진한 푸른 점은 f(c)를 의미한다.]]
x보다 같거나 작은 정수 중 가장 큰 값을 주는 [[내림함수]] f(x)=⌊x⌋는 전구간에서 위에서 반연속이다. 비슷하게, [[올림함수]] f(x)=⌈x⌉는 아래로 반연속이다.

또한, 굳이 [[연속함수#좌연속성과 우연속성|좌연속 또는 우연속]]일 필요 없이 함수는 반연속성을 가질 수 있다. 예를 들어, 함수
:<math>f(x) = \begin{cases}
               x^2 & \text{if } 0 \le x < 1,\\
               2   & \text{if } x = 1, \\
               1/2 + (1-x) & \text{if } x > 1,
               \end{cases} </math>

는 x = 1에서 좌연속 또는 우연속도 아니지만 위에서 반연속이다. 우극한의 값은 1/2, 좌극한의 값은 1이지만, 둘 다 2보다는 작다. 비슷하게 함수
:<math> f(x) = \begin{cases}
                \sin(1/x) & \text{if } x \neq 0,\\
                1         & \text{if } x = 0,
                \end{cases}</math>
는 x = 0에서 좌극한과 우극한이 존재하진 않지만, 위에서 반연속이다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Semicontinuous function}}
* {{nlab|id=semicontinuous map|제목=Semicontinuous map}}
* {{nlab|id=semicontinuous topology|제목=Semicontinuous topology}}

[[분류:해석학 (수학)]]
[[분류:변분해석학]]
[[분류:연속 함수]]