반사 원리 문서 원본 보기

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'''반사 원리'''({{llang|en|reflection principle}})는 [[복소수]]의 [[켤레성]]에 관련된 [[해석학 (수학)|해석학]]의 [[정리]] 중 하나이다. [[헤르만 아만두스 슈바르츠]]가 제출하였으므로 '''슈바르츠의 반사 원리'''라고도 한다. 다음과 같이 공식화될 수 있다:
* [[복소평면]]상에서 D가 x축의 [[선분]]을 포함하는 x축에 대칭인 영역이고 f가 D에서의 [[정칙함수]]라 하자. 이때 D 안의 임의의 점 z에 대해 <math>\overline{f(z)}=f(\overline{z})</math>일 필요충분조건은 (x,0)∈D에 대해 f(x,0)가 실수인 것이다.

== 증명 ==
(→) <math>f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>라 놓으면, 만약 <math>\overline{f(z)}=f(\overline{z})</math>이라면

:<math>u(x,y)-iv(x,y)=u(x,-y)+iv(x,-y)</math>

가 성립한다. 이제 <math>y=0</math>을 대입하고 양 변에서 <math>u(x,0)</math>을 소거하면 <math>v(x,0)=0</math>을 얻는다.

(←) D에서 <math>f(x,0)</math>이 실수라 가정하자. 이때 <math>f(z)=\overline{f(\overline{z})}</math>인 것을 보이면 된다. 먼저 우변의 함수가 [[코시-리만 방정식]]을 만족하는 것은 간단한 대수적 전개로 알 수 있다. 그러므로 우변의 함수는 정칙이다. 또한 D 중 실수축 부분에서 좌변과 우변이 일치하는 것 역시 위에서와 유사한 논리로 간단하게 증명할 수 있다.

이제 <math>f(z)-\overline{f(\overline{z})}=g(z)</math>라 놓자. 그러면 D에서 <math>g(x,0)=0</math>이다. 그런데 [[항등 정리]]에 의하면, 어떤 해석함수 f가 영역 D에서 <math>\{z\in D:f(z)=0\}</math>의 극점을 가지면 D에서 <math>f=0</math>이어야 한다. 따라서, 증명이 끝난다.

== 같이 보기 ==
* [[영상법]]
== 참고 문헌 ==
* 고석구, 『복소해석학개론(2판)』, 경문사, 2005

[[분류:복소해석학 정리]]
[[분류:조화 함수]]