반사 부분 범주 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[범주론]]에서 '''반사 부분 범주'''(反射部分範疇, {{llang|en|reflective subcategory}})는 어떤 [[범주 (수학)|범주]]의 부분 범주에 대하여, 범주의 일반적 원소를 "표준적으로" 부분 범주에 속하도록 "완성할" 수 있는 성질을 갖는 [[충만한 부분 범주]]이다.

== 정의 ==
범주 <math>\mathcal B</math>의 [[충만한 부분 범주]] <math>\mathcal A\subseteq\mathcal B</math>에 대하여, 만약 포함 함자
:<math>I\colon\mathcal A\to\mathcal B</math>
가 [[왼쪽 수반 함자]]
:<math>R\colon\mathcal B\to\mathcal A</math>
:<math>R\dashv I</math>
를 갖는다면, <math>\mathcal A</math>를 '''반사 부분 범주'''라고 하며, <math>R</math>를 '''반사 함자'''(反射函子, {{llang|en|reflector}})라고 한다. 이 경우, <math>\mathcal A</math>의 [[극한 (범주론)|극한]]은 <math>\mathcal B</math>의 극한과 일치하며, 반대로 <math>\mathcal A</math>의 [[쌍대극한]]은 <math>\mathcal B</math>의 쌍대극한에 반사 함자 <math>R</math>를 가하여 얻는다.

마찬가지로, 범주 <math>\mathcal B</math>의 [[충만한 부분 범주]] <math>\mathcal A\subseteq\mathcal B</math>에 대하여, 만약 포함 함자
:<math>I\colon\mathcal A\to\mathcal B</math>
가 [[오른쪽 수반 함자]]
:<math>R\colon\mathcal B\to\mathcal A</math>
:<math>I\dashv R</math>
를 갖는다면, <math>\mathcal A</math>를 '''쌍대 반사 부분 범주'''({{llang|en|coreflective subcategory}})라고 하며, <math>R</math>를 '''쌍대 반사 함자'''({{llang|en|coreflector}})라고 한다. 이 경우, <math>\mathcal A</math>의 [[쌍대극한]]은 <math>\mathcal B</math>의 극한과 일치하며, 반대로 <math>\mathcal A</math>의 [[극한 (범주론)|극한]]은 <math>\mathcal B</math>의 극한에 쌍대 반사 함자 <math>R</math>를 가하여 얻는다.

반사 부분 함자이자 쌍대 반사 범주인 [[충만한 부분 범주]]를 '''쌍반사 부분 범주'''({{llang|en|bireflective subcategory}})라고 한다.

== 예 ==
=== 쌍반사 부분 범주의 예 ===
쌍반사 부분 범주의 예로는 다음을 들 수 있다.

{| class=wikitable
! 전체 범주 !! 쌍반사 부분 범주 !! 반사 함자 !! 쌍대 반사 함자
|-
| [[모노이드]]의 범주 <math>\operatorname{Mon}</math> || [[군 (수학)|군]]의 범주 <math>\operatorname{Grp}</math> || 역원의 추가 || [[가역원군]]
|}

=== 반사 부분 범주의 예 ===
반사 부분 범주의 예로는 다음을 들 수 있다.
{| class=wikitable
! 전체 범주 !! 반사 부분 범주 !! 반사 함자
|-
| [[군 (수학)|군]]의 범주 <math>\operatorname{Grp}</math> || [[아벨 군]]의 범주 <math>\operatorname{Ab}</math> || [[아벨화]]({{llang|en|abelianization}}) <math>G\mapsto G/[G,G]</math>
|-
| [[환 (수학)|환]]의 범주 <math>\operatorname{Ring}</math> || [[가환환]]의 범주 <math>\operatorname{CRing}</math> || 가환화 <math>R\mapsto R/[R,R]</math>
|-
| [[준군]]의 범주 <math>\operatorname{Gpd}</math> || [[군 (수학)|군]]의 범주 <math>\operatorname{Grp}</math> || 준군의 보편군({{llang|en|universal group}})
|-
| [[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[단위 결합 대수]]의 범주 <math>K\text{-uAssoc}</math>  || 가환 결합 대수의 범주 || 가환화
|-
| [[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[단위 결합 대수]]의 범주 <math>K\text{-uAssoc}</math>  || 반가환 결합 대수의 범주 || 반가환화
|-
| [[정역]]과 [[단사 함수|단사]] [[환 준동형]]의 범주 || [[체 (수학)|체]]의 범주 <math>\operatorname{Field}</math> || [[분수체]] <math>R\mapsto\operatorname{Frac}R</math>
|-
| [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 범주 <math>\operatorname{Top}</math> || [[콜모고로프 공간]]의 범주 <math>\operatorname{Kolm}</math> || [[콜모고로프 몫공간]]
|-
| [[콜모고로프 공간]]의 범주 <math>\operatorname{Kolm}</math> || [[T1 공간]]의 범주 <math>\operatorname{T_1Top}</math>
|-
| [[T1 공간]]의 범주 <math>\operatorname{T_1Top}</math> || [[하우스도르프 공간]]의 범주 <math>\operatorname{Haus}</math>
|-
| [[하우스도르프 공간]]의 범주 <math>\operatorname{Haus}</math> || [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[정칙 공간]]의 범주 <math>\operatorname{RegHaus}</math>
|-
| [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[정칙 공간]]의 범주 <math>\operatorname{RegHaus}</math> || [[티호노프 공간]]의 범주 <math>\operatorname{Tych}</math>
|-
| [[티호노프 공간]]의 범주 <math>\operatorname{Tych}</math> || 콤팩트 [[하우스도르프 공간]]들의 범주 <math>\operatorname{CompHaus}</math> || [[스톤-체흐 콤팩트화]]
|-
| [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 범주 <math>\operatorname{Top}</math> || [[비이산 공간]]의 범주 <math>\operatorname{IndiscTop}\simeq\operatorname{Set}</math> || 망각 함자
|-
| [[거리 공간]]과 [[균등 연속 함수]]의 범주 || [[완비 거리 공간]]과 [[균등 연속 함수]]의 범주 || 완비화
|-
| [[노름 공간]]과 [[유계 작용소]]의 범주 || [[바나흐 공간]]과 유계 작용소들의 범주 || 완비화
|-
| [[위치 (수학)|위치]] <math>S</math> 위의 [[준층]]의 범주 <math>\operatorname{PSh}(S)</math> || <math>S</math> 위의 [[층 (수학)|층]]의 범주 <math>\operatorname{Sh}(S)</math> || [[층화]]({{llang|en|sheafification}})
|-
| [[스킴 (수학)|스킴]]의 범주 <math>\operatorname{Sch}</math> || [[아핀 스킴]]의 범주 <math>\operatorname{Aff}\simeq\operatorname{CRing}^{\operatorname{op}}</math> || 정칙 함수환의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]] <math>X\mapsto\operatorname{Spec}\Gamma(X;\mathcal O_X)</math>
|}

그러나 [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[정규 공간]](=T4 공간)의 범주는 [[티호노프 공간]]의 범주 속의 반사 부분 범주를 이루지 않는다. 반사 부분 범주는 포함되는 범주의 (존재한다고 가정한) 유한곱에 대하여 닫혀 있어야 하는데, 하우스도르프 정규 공간의 범주는 [[곱공간]]에 대하여 닫혀 있지 않기 때문이다.

=== 쌍대 반사 부분 범주의 예 ===
쌍대 반사 부분 범주의 예로는 다음을 들 수 있다.
{| class=wikitable
|-
! 전체 범주 !! 쌍대 반사 부분 범주 !! 쌍대 반사 함자
|-
| [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 범주 <math>\operatorname{Top}</math> || [[콤팩트 생성 공간]]의 범주 <math>\operatorname{CGTop}</math> || 콤팩트 생성화
|-
| [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 범주 <math>\operatorname{Top}</math> || [[이산 공간]]의 범주 <math>\operatorname{DiscTop}\simeq\operatorname{Set}</math> || 망각 함자 <math>\operatorname{Top}\to\operatorname{Set}</math>
|-
| [[아벨 군]]의 범주 <math>\operatorname{Ab}</math> || [[꼬임 부분군|꼬임]] [[아벨 군]]의 범주 <math>\operatorname{TorsAb}</math> || [[꼬임 부분군]]
|-
| [[준군]]의 범주 <math>\operatorname{Gpd}</math> || [[작은 범주]]의 범주 <math>\operatorname{Cat}</math> || 핵({{llang|en|core}}) (역원을 갖는 사상들만으로 구성된 비충실 부분 범주)
|}

== 참고 문헌 ==
*{{서적 인용 |last=Mac Lane |first=Saunders |저자링크=손더스 매클레인|제목=Categories for the working mathematician |publisher=Springer |날짜=1998 |판=2판 |series=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권= 5 |isbn=978-1-4419-3123-8 | zbl=0906.18001 | mr=1712872 |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8|언어=en }}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Reflective subcategory}}
* {{eom|title=Reflection of an object of a category}}
* {{nlab|id=reflective subcategory|title=Reflective subcategory}}
* {{nlab|id=coreflective subcategory|title=Coreflective subcategory}}
* {{nlab|id=bireflective subcategory|title=Bireflective subcategory}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/9504/why-is-top-4-a-reflective-subcategory-of-top-3|제목=Why is Top<sub>4</sub> a reflective subcategory of Top<sub>3</sub>?|웹사이트=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/26911/how-do-you-know-when-a-reflective-subcategory-of-top-is-quotient-reflective|제목=How do you know when a reflective subcategory of Top is quotient-reflective?|웹사이트=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://golem.ph.utexas.edu/category/2012/09/every_functor_is_a_coreflectio.html|제목=Every functor is a (co)reflection|이름=Mike|성=Shulman|날짜=2012-09-10|웹사이트=The ''n''-Category Café|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:수반 함자]]