반사 가군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[환론]]에서 '''반사 가군'''(反射加群, {{llang|en|reflexive module}})은 스스로의 이중 [[쌍대 가군]]과 동형인 [[가군]]이다.

== 정의 ==
[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>의 '''[[쌍대 가군]]''' <math>M^\vee_R</math>은 다음과 같은 <math>R</math>-[[오른쪽 가군]]이다.
:<math>R^\vee=\hom(_RM,_RR)</math>
:<math>(fr)\colon (m\mapsto f(m)r)\qquad\forall f\in R^\vee,\;r\in R,\;m\in M</math>
마찬가지로, <math>R</math>-[[오른쪽 가군]]의 쌍대 가군은 <math>R</math>-[[왼쪽 가군]]이다.

[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>이 주어졌을 때, 다음과 같은 표준적 <math>R</math>-[[왼쪽 가군]] 준동형이 존재한다.
:<math>M\to M^{\vee\vee}</math>
:<math>m\mapsto (f\mapsto f(m))\qquad\forall m\in M,\;f\in M^\vee</math>
만약 이 [[가군 준동형]]이 [[단사 함수]](즉, 가군 범주의 [[단사 사상]])라면 <math>M</math>은 '''준반사 가군'''(準反射加群, {{llang|en|semireflexive module}})이라고 하며, [[전단사 함수]](즉, 가군 범주의 [[동형 사상]])이라면 <math>M</math>은 '''반사 가군'''이라고 한다.<ref name="Lam"/>{{rp|413, 144}} (일부 영문 문헌에서 준반사 가군은 {{llang|en|torsionless module}}로 알려져 있으나,<ref name="Lam">{{서적 인용 | last=Lam | first=Tsit-Yuen | 저자링크=람짓윈 | title=Lectures on modules and rings | publisher=Springer | series=Graduate Texts in Mathematics | 권= 189 | isbn=978-0-387-98428-5 |mr=1653294 | year=1999 | doi=10.1007/978-1-4612-0525-8|언어=en}}</ref>{{rp|§4.64}} 이는 [[꼬임 없는 가군]]({{llang|en|torsion-free module}})과 다른 개념이다.)

보다 일반적으로, 환 <math>R</math>, <math>S</math>와 <math>R</math>-[[왼쪽 가군]] <math>_RM</math> 및 <math>(R,S)</math>-[[쌍가군]] <math>_RU_S</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>_RM</math>의 '''<math>U</math>-[[쌍대 가군]]'''({{llang|en|<math>U</math>-dual module}})은 다음과 같은 <math>S</math>-[[오른쪽 가군]]이다.
:<math>R^\vee=\hom(_RM,_RU_S)</math>
마찬가지로, <math>S</math>-[[오른쪽 가군]]의 [[쌍대 가군]]은 <math>R</math>-[[왼쪽 가군]]이다. 마찬가지로 표준적인 <math>R</math>-[[가군 준동형]] <math>R\to R^{\vee\vee}</math>가 존재하며, 이 준동형이 [[단사 함수]]라면 <math>M</math>을 '''<math>U</math>-준반사 가군'''({{llang|en|<math>U</math>-semireflexive module}}), [[전단사 함수]]라면 '''<math>U</math>-반사 가군'''({{llang|en|<math>U</math>-reflexive module}})이라고 한다.

=== 가군층 ===
[[국소환 달린 공간]] <math>(X,\mathcal O_X)</math> 위의 <math>\mathcal O_X</math>-[[가군층]] <math>\mathcal M</math>에 대하여, 다음을 정의하자.
:<math>\mathcal M^\vee=\hom_{\mathcal O_X}(\mathcal M,\mathcal O_X)</math>
그렇다면, 다음과 같은 표준적인 <math>\mathcal O_X</math>-[[가군층]] 사상을 정의할 수 있다.
:<math>\mathcal M\to\mathcal M^{\vee\vee}</math>
:<math>\left(s\in\Gamma(U;\mathcal M)\right)\mapsto \left((f\in\Gamma\left(U;\hom_{\mathcal O_X}(\mathcal O_X,\mathcal M)\right)\mapsto f(s)\right)\qquad\forall U\in\operatorname{Open}(X)</math>
이 가군층 사상이 [[단사 사상]]이라면, <math>\mathcal M</math>을 '''준반사층'''({{llang|en|semireflexive sheaf of modules}})이라고 하며, [[동형 사상]]이라면 <math>\mathcal M</math>을 '''반사층'''({{llang|en|reflexive sheaf of modules}})이라고 한다.

[[정규 스킴]] 위의 '''인자층'''({{llang|en|divisorial sheaf}})은 계수 1의 반사층이다.

== 성질 ==
모든 [[사영 가군]]은 준반사 가군이다.<ref name="Lam"/>{{rp|144, Remark 4.65(b)}} 모든 [[왼쪽 아이디얼]]은 반사 왼쪽 가군이다.<ref name="Lam"/>{{rp|144, Remark 4.65(b)}} [[유한 생성 가군|유한 생성]] [[자유 가군]]은 반사 가군이다.

[[정역]] 위의 [[유한 생성 가군|유한 생성]] [[꼬임 없는 가군]]은 준반사 가군이다. [[프뤼퍼 정역]] 위의 가군에 대하여, 모든 준반사 가군은 [[평탄 가군]]이다. [[데데킨트 정역]] 위의 가군에 대하여, [[꼬임 없는 가군]]인 것은 반사 가군인 것과 [[동치]]이다.

=== 반사 껍질 ===
환 <math>R</math> 위의 [[오른쪽 가군]] <math>M_R</math>에 대하여, 그 쌍대 가군 <math>_R(M^\vee)</math>은 준반사 왼쪽 가군이다.<ref name="Lam"/>{{rp|145, Remark 4.65(f)}}

<math>(X,\mathcal O_X)</math>가 [[국소 뇌터 스킴|국소 뇌터]] [[정역 스킴]]이라고 하고, 그 위의 [[연접층]] <math>\mathcal M</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면,
:<math>\mathcal M^{\vee\vee}</math>
은 항상 반사 가군층이며, 이를 <math>\mathcal M</math>의 '''반사 껍질'''({{llang|en|reflexive hull}})이라고 한다. (물론, 반사 가군층은 스스로의 반사 껍질과 동형이다.)

== 예 ==
[[체 (수학)|체]] 위의 [[가군]] (즉, [[벡터 공간]])은 항상 준반사 가군이며, 반사 가군일 필요충분조건은 유한 차원인 것이다.

<math>\mathbb Z</math> 위의 가군 <math>\mathbb Q</math>는 [[꼬임 없는 가군]]이지만, 준반사 가군이 아니다.<ref name="Lam"/>{{rp|145, Remark 4.65(e)}}

== 역사 ==
준반사 가군의 개념은 [[하이먼 배스]]가 도입하였다.<ref name="Lam"/>{{rp|144, §4H}}<ref>{{서적 인용|장=Bass’s work in ring theory and projective modules|이름=T. Y.|성=Lam|저자링크=람짓윈|arxiv=math/0002217|bibcode=2000math......2217L|제목=Algebra, ''K''-theory, groups, and education on the occasion of Hyman Bass’s 65th birthday|editor1-first=L. Y.|editor1-last=Lam|editor1-link=람짓윈|editor2-first=A. R.|editor2-last=Magid|총서=Contemporary Mathematics|권=243|쪽=83–124|출판사=American Mathematical Society|isbn=978-0-8218-1087-3|doi=10.1090/conm/243/03688|mr=1732042|날짜=1999|언어=en}}</ref>{{rp|95, §4}}<ref name="Bass">{{저널 인용|제목=Injective dimension in Noetherian rings|jstor=1993878|이름=Hyman|성=Bass|저자링크=하이먼 배스|mr=0138644|doi=10.1090/S0002-9947-1962-0138644-8|저널=Transactions of the American Mathematical Society|권=102|호=1|쪽=18–29|날짜=1962-01|issn=0002-9947|언어=en}}</ref>{{rp|22, §3}}

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/linmultialg/dualmod.pdf|제목=Dual modules|이름=Keith|성=Conrad|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://www-personal.umich.edu/~kschwede/GeneralizedDivisors.pdf|제목=Generalized divisors and reflexive sheaves|이름=Karl|성=Schwede|언어=en}}{{깨진 링크|url=http://www-personal.umich.edu/~kschwede/GeneralizedDivisors.pdf }}

{{전거 통제}}

[[분류:가군론]]
[[분류:층론]]