반사 (기하학) 문서 원본 보기

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[[기하학]]에서 '''반사'''(反射, {{llang|en|reflection}}) 또는 '''대칭 이동'''(對稱 移動)은 [[유클리드 공간]] 위의 점을 어떤 [[초평면 (수학)|초평면]]에 대한 ‘거울상’으로 변환시키는 [[함수]]이다.

== 정의 ==
[[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math>의 <math>(n-1)</math>차원 [[부분 아핀 공간]] <math>\operatorname{Fix}(R)\subset\mathbb R^n</math>을 반사 초평면으로 하는 '''반사'''
:<math>R\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^n</math>
는 다음과 같다.
* 임의의 <math>\mathbf x\in\mathbb R^n</math>에 대하여, <math>R(\mathbf x)</math>는 <math>\operatorname{Fix}(R)</math>가 [[선분]] <math>(\mathbf x,R(\mathbf x))</math>의 [[수직 이등분 초평면]]이 되게 만드는 유일한 점이다.
반사 초평면의 점 <math>\mathbf x_0</math> 및 단위 [[법벡터]] <math>\mathbf n</math>이 주어졌을 때, 이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>R(\mathbf x)=\mathbf x-2((\mathbf x-\mathbf x_0)\cdot\mathbf n)\mathbf n</math>

== 성질 ==
모든 반사는 유클리드 공간의 [[등거리 변환]]이며, [[방향 (다양체)|방향]]을 보존하지 않는다. 특히, 모든 반사는 [[아핀 변환]]이며, [[선형 변환]] 성분의 [[행렬식]]은 −1이다. 원점을 지나는 반사 초평면을 갖는 반사는 [[선형 변환]]이다. 모든 반사는 [[대합 (수학)|대합]]이다. 즉, 스스로를 두 번 [[함수의 합성|합성]]하면 [[항등 함수]]를 얻는다.

=== 고정점 ===
반사의 [[고정점]]의 집합은 반사 초평면이다.

=== 연산에 대한 닫힘 ===
반사 <math>R</math>의 [[등거리 변환]] <math>I</math>에 의한 켤레 역시 반사이며, 그 반사 초평면은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Fix}(I\circ R\circ I^{-1})=I(\operatorname{Fix}(R))</math>

=== 행렬 표현 ===
반사의 선형 변환 성분은 적절한 기저에 대하여 다음과 같은 [[행렬]] 표현을 갖는다.
:<math>
\begin{pmatrix}
1\\
&\ddots\\
&&1\\
&&&-1
\end{pmatrix}
</math>

=== 합성 ===
[[파일:Simx2=transl OK.svg|섬네일|평면 위에서, 평행하는 두 직선을 축으로 하여 연이어 반사하면 [[평행 이동]]을 얻는다.]]
[[파일:Simx2=rotOK.svg|섬네일|평면 위에서, 교차하는 두 직선을 축으로 하여 연이어 반사하면 [[회전 (기하학)|회전]]을 얻는다.]]
평행하는 반사 초평면을 갖는 두 반사 <math>R</math>, <math>R'</math>의 합성 <math>R'\circ R</math>은 [[평행 이동]]이며, (<math>R</math>의 반사 초평면에서 <math>R'</math>의 반사 초평면을 향하는) 공통 법벡터의 방향으로 반사 초평면 사이 거리의 2배만큼 평행 이동한다. 즉, 만약
:<math>\operatorname{Fix}(R)=\{\mathbf x\in\mathbb R^n\colon(\mathbf x-\mathbf x_0)\cdot\mathbf n=0\}</math>
:<math>\operatorname{Fix}(R')=\{\mathbf x\in\mathbb R^n\colon(\mathbf x-\mathbf x_0')\cdot\mathbf n=0\}</math>
:<math>\|\mathbf n\|=1</math>
이라면, <math>R'\circ R</math>의 평행 이동 벡터는
:<math>2(\mathbf x_0'-\mathbf x_0)\cdot\mathbf n</math>
이다. 반대로, 모든 평행 이동은 이러한 두 반사의 합성으로 나타낼 수 있다.

교차하는 반사 초평면을 갖는 두 반사 <math>R</math>, <math>R'</math>의 합성 <math>R'\circ R</math>은 [[회전 (기하학)|회전]]이다. 구체적으로, 이 회전은 두 반사 초평면의 교집합을 고정점 집합으로 가지며, 고정점 집합과 수직인 각 평면으로 제한되었을 때 두 반사 초평면 사이의 각의 2배만큼 (<math>R</math>에서 <math>R'</math>을 향하여) 회전시킨다. 즉, 만약
:<math>\operatorname{Fix}(R)=\{\mathbf x\in\mathbb R^n\colon(\mathbf x-\mathbf x_0)\cdot\mathbf n=0\}</math>
:<math>\operatorname{Fix}(R')=\{\mathbf x\in\mathbb R^n\colon(\mathbf x-\mathbf x_0')\cdot\mathbf n'=0\}</math>
:<math>\|\mathbf n\|=\|\mathbf n'\|=1</math>
:<math>\mathbf n\times\mathbf n'\ne 0</math>
이라면, <math>R'\circ R</math>의 [[고정점]] 집합은
:<math>\operatorname{Fix}(R)\cap\operatorname{Fix}(R')</math>
이다. 또한, 평면 <math>\mathbf x_0+(\operatorname{Fix}(R)\cap\operatorname{Fix}(R'))^\perp</math> (<math>\mathbf x_0\in\operatorname{Fix}(R)\cap\operatorname{Fix}(R')</math>)로 제한되었을 때, 회전
:<math>R'\circ R\restriction(\mathbf x_0+(\operatorname{Fix}(R)\cap\operatorname{Fix}(R'))^\perp)</math>
의 회전 중심은 <math>\mathbf x_0</math>이며, 회전 각도는
:<math>2\arccos(\mathbf n\cdot\mathbf n')</math>
이다. 반대로, 3차원 이하 유클리드 공간 위의 회전은 두 반사의 합성으로 나타낼 수 있다. 그러나 이는 4차원부터는 성립하지 않는다.

=== 사원수 표현 ===
3차원 벡터를 순허수 [[사원수]]로 여겼을 때, <math>\mathbb R^3</math> 위의 반사는 사원수 곱셈을 통해 간단하게 나타낼 수 있다. 구체적으로, 점 <math>\mathbf x_0</math>을 지나며 단위 법벡터 <math>\mathbf n</math>을 갖는 초평면 <math>\operatorname{Fix}(R)\subset\mathbb R^3</math>에 대한 반사는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>R(\mathbf x)=\mathbf x_0+\mathbf n(\mathbf x-\mathbf x_0)\mathbf n</math>
여기서 우변의 곱셈은 [[사원수]]의 곱셈이다.

== 예 ==
2차원 유클리드 공간 <math>\mathbb R^2</math> 위의 x축 및 y축에 대한 반사는 각각 다음과 같다.
:<math>\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\-y\end{pmatrix}</math>
:<math>\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x\\y\end{pmatrix}</math>

== 같이 보기 ==
* [[덧셈 역원]]
* [[하우스홀더 변환]]
* [[반전기하학]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Reflection}}
* {{매스월드|id=Reflection|title=Reflection}}

{{전거 통제}}

[[분류:함수와 사상]]
[[분류:변환 (함수)]]