반사관계 문서 원본 보기

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[[수학]]에서, 주어진 [[집합]]의 '''반사관계'''(反射關係, reflexive relation)는 집합의 모든 [[원소 (수학)|원소]]가 자기 자신에 대해 관계를 가지는 [[이항관계]]이다.{{sfn|ps=|Levy|1979|p=74}}{{sfn|ps=|Schmidt|2010}}

예를 들어 [[실수]] 집합에서 "x와 y가 같다"는 반사관계이다. 왜냐하면 모든 실수는 자기 자신과 같기 때문에, 즉 "x와 x가 같다"라는 관계를 만족하기 때문이다. 반면 "x가 y보다 크다"는 반사관계가 아니다. 왜냐하면 y=x일 때 관계를 만족하지 않기 때문이다. 반사관계는 [[대칭 관계]], [[추이적 관계]]와 함께 [[동치 관계]]의 세 조건 중 하나이다.

== 정의 ==
=== 반사 관계 ===
[[집합]] <math>X</math>에 대해 정의된 [[이항관계]] <math>R</math>이 모든 <math>x\in X</math>에 대해 <math>(x,x)\in R</math>을 만족할 때, 즉 <math>xRx</math>일 때, 이를 '''반사관계'''라 한다.
다르게 말하면, [[집합]] <math>X</math>에 대한 '''항등 관계'''({{llang|en|identity relation}}) <math>I_X:=\{(x,x):x\in X\}</math>에 대해 <math>I_X\subset R</math>일 때 <math>R</math>은 반사관계이다.

=== 비반사관계 ===
집합 <math>X</math>의 모든 원소가 반사관계를 만족하지 않을 때, 즉, 모든 <math>x\in X</math>에 대해 <math>(x,x)\notin R</math>일 때 이항관계 <math>R</math>을 '''비반사관계'''({{llang|en|irreflexive relation}})라 한다.

== 예시 ==
다음은 반사관계의 예시이다. 즉 y=x이면 다음 관계를 만족한다.
* "x와 y가 같다" ([[등호]])
* "x가 y보다 같거나 크다"
* "x가 y보다같거나 작다"
* "X가 Y의 [[부분집합]]이다" ([[집합]]의 포함관계)
* "x가 y를 나눈다" ([[약수]] 관계)

다음은 비반사관계의 예시이다. 즉 y=x이면 다음 관계를 만족하지 않는다.
* "x와 y가 같지 않다"
* "X가 Y의 [[진부분집합]]이다"
* "x가 y보다 크다"
* "x가 y보다 작다"

== 같이 보기 ==
* [[대칭 관계]]
* [[반대칭관계]]
* [[추이적 관계]]
* [[동치 관계]]

== 각주 ==
{{참고 자료 시작}}
* {{서적 인용|first1=D.S. |last1=Clarke |first2=Richard |last2=Behling |year=1998 |title=Deductive Logic – An Introduction to Evaluation Techniques and Logical Theory |publisher=University Press of America |isbn=0-7618-0922-8 }}
* {{인용|last1=Fonseca de Oliveira |first1=José Nuno |last2=Pereira Cunha Rodrigues |first2=César de Jesus |year=2004 |title=Transposing relations: from Maybe functions to hash tables |journal=Mathematics of Program Construction |publisher=Springer |pages=334–356 }}
* {{서적 인용|first1=Alan |last1=Hausman |first2=Howard |last2=Kahane |first3=Paul |last3=Tidman |year=2013 |title=Logic and Philosophy – A Modern Introduction |url=https://archive.org/details/logicphilosophym0000haus |publisher=Wadsworth |isbn=1-133-05000-X }}
* {{인용|last1=Levy |first1=A. |year=1979 |title=Basic Set Theory |series=Perspectives in Mathematical Logic |publisher=Dover |isbn=0-486-42079-5 }}
* {{인용|last1=Lidl |first1=R. |last2=Pilz |first2=G. |year=1998 |title=Applied abstract algebra |series=Undergraduate Texts in Mathematics |publisher=Springer-Verlag |isbn=0-387-98290-6 }}
* {{인용|last1=Quine |first1=W. V. |year=1951 |title=Mathematical Logic |others=Revised Edition, Reprinted 2003 |publisher=Harvard University Press |isbn=0-674-55451-5 }}
* {{서적 인용|first1=Bertrand |last1=Russell |year=1920 |title=Introduction to Mathematical Philosophy |location=London |publisher=George Allen & Unwin, Ltd. |edition=2nd |url=https://people.umass.edu/klement/imp/imp-ebk.pdf | isbn= }}  (Online corrected edition, Feb 2010)
* {{인용|first1=Gunther |last1=Schmidt |year=2010 |title=Relational Mathematics |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-76268-7 }}
{{참고 자료 끝}}

{{전거 통제}}

[[분류:집합론]]