반대칭 행렬 문서 원본 보기

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[[선형대수학]]에서 '''반대칭행렬'''(反對稱行列) 또는 '''비대칭행렬'''(非對稱行列, {{llang|en|antisymmetric matrix, skew-symmetric matrix}})은 [[전치행렬]]이 [[덧셈 역원]]과 같은 [[행렬]]이다. 즉, [[주대각선]]의 원소는 0이며, 주대각선에 의하여 대칭인 위치에 있는 원소는 부호만 서로 반대이다. [[실수 행렬]]에 대하여 주로 정의되며, [[복소 행렬]]의 [[반에르미트 행렬]]의 특수한 경우이다.

== 정의 ==
[[실수]] [[정사각 행렬]] <math>A</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''반대칭행렬'''이라고 한다.
:<math>A^T = -A</math>
즉, 임의의 <math>1\le i,j\le n</math>에 대하여,
:<math>a_{ji} = - a_{ij}</math>

== 성질 ==
* 반대칭행렬의 [[주대각선]] 상의 원소는 모두 0이다.
* 실수 반대칭행렬의 [[고윳값]]은 모두 0이거나 [[순허수]]이며, 실수 범위 내에서는 [[행렬의 대각화|대각화]]가 불가능하나, 복소수 범위 내에서는 [[유니타리 행렬]]에 의한 [[대각화 가능 행렬|대각화]]가 가능하다.<ref name="WMY">{{저널 인용|저자=王美艳|연도=2008|제목=关于实反对称矩阵对角化问题的讨论|번역제목=실반대칭행렬의 대각화 문제에 대한 탐구|언어=zh|저널=河西学院学报|호=2|총서=24|쪽=34-37}}</ref>
* [[특수 선형군]]에 속하는 행렬은 항상 반대칭행렬의 [[행렬 지수 함수]]로 나타낼 수 있다. 예를 들어, 다음과 같다.
*::<math>\begin{pmatrix}
\cos\,\theta & -\sin\,\theta \\
\sin\,\theta & \,\cos\,\theta \end{pmatrix}=
\exp\left( \theta
\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1  &\,0 \end{pmatrix}
\right)
</math>

== 예 ==
행렬
:<math>\begin{pmatrix}
0 & 2 & -1 \\
-2 & 0 & -4 \\
1 & 4 & 0\end{pmatrix}</math>
은 반대칭 행렬이다.

== 같이 보기 ==
* [[반에르미트 행렬]]
* [[케일리 변환]]
* [[반대각 대칭행렬]]

== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:행렬]]