반대칭 텐서 문서 원본 보기

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'''반대칭 텐서'''(Antisymmetric tensor)는 [[수학]]과 [[이론물리학]]에서 텐서를 구별하는 종류 중의 하나로, 각 지표의 교환에 대해 반대칭성이 나타나는 텐서를 말한다.

== 정의 ==
반대칭 텐서는 어떤 임의의 두 지표 i와 j의 위치를 바꾸는 것에 대해 다음과 같은 성질을 만족하는 텐서를 말한다.

:<math>T_{ijk\dots} = -T_{jik\dots} \;</math>

대칭성과 달리 앞에 (-)가 붙기 때문에 이 성질을 '''반대칭성'''이라 한다.

특히, 모든 지표에 대해 임의의 두 지표를 골라 서로 위치를 바꾸었을 때 반대칭성이 성립하면 그러한 텐서를 '''완전 반대칭'''하다고 한다. 이러한 성질을 만족하는 텐서의 하나로 [[미분형식]]이 있다.

또한, 텐서'''A'''가 지표 i와 j에 대해 대칭이고 텐서'''B'''가 지표 i와 j에 대해 반대칭일 때 두 텐서를 [[텐서 축약]]을 취하면 0이 된다.

== 일반적인 텐서의 전개 ==
성분 U<sub>ijk…</sub>를 가지는 일반적인 텐서 '''U'''의 지표 i와 j에 대한 대칭부분과 반대칭 부분은 다음과 같이 정의된다.

:<math>U_{(ij)k\dots}=\frac{1}{2}(U_{ijk\dots}+U_{jik\dots})</math> (대칭부분)

:<math>U_{[ij]k\dots}=\frac{1}{2}(U_{ijk\dots}-U_{jik\dots})</math> (반대칭부분)

보통 두 지표가 대칭성을 나타내는 것을 U<sub>(ij)k…</sub>와 같이 ()로 표기하고, 반대칭성을 나타내는 것을 U<sub>[ij]k…</sub>와 같이 []로 표기한다. 비슷하게 다른 지표에 대해서도 위와 같은 텐서를 생각할 수 있다. 또한, 위 두 텐서의 정의에서 보듯이 일반적인 텐서성분 U<sub>ijk…</sub>를 위 둘의 합으로 나타낼 수 있다.

:<math>U_{ijk\dots}=U_{(ij)k\dots}+U_{[ij]k\dots} \;</math>

== 물리학에서의 반대칭 텐서 ==
보통 벡터로 다루는 많은 물리학에서의 물리량, 예를 들어 자기장 '''B'''는 보통 벡터로 나타내지만 본질적으로는 벡터라기보단 텐서, 더 정확히 말하면 [[미분형식]]이라는 게 올바른 정의이다. 그리고 대부분의 텐서로 나타내어진 물리량들은 반대칭성을 가진다.

예를 들어, 중요한 반대칭 텐서의 하나로 [[전자기학]]에서의 [[전자기 텐서]] '''F'''가 있다.

== 같이 보기 ==
* [[반대칭 행렬]]
* [[대칭 텐서]]
* [[레비-치비타 기호]]

{{전거 통제}}

[[분류:텐서]]