반대칭관계 문서 원본 보기

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==정의==
[[수학]]에서 
[[집합]] <math>X</math> 상의 임의의 두 원소 a, b에 대하여 정의된 [[이항관계]] <math>R</math>가
'''반대칭관계'''(反對稱關係, antisymmetric relation)라 함은 <math>a R b</math>이고 <math>b R a</math>이면 <math>a=b</math>를 만족한다는 뜻이다. 수학적으로 다시 쓰면 다음과 같다.

<math>
\forall a,b \in X, aRb \land bRa \Rightarrow a=b
</math>

== 예제 ==
예를 들어 aRb가 'a 는  b 와 관계가 있다'라는 이항관계이면 R 은 [[대칭관계]]이지만. 반대칭관계는 아니다. 그러나 R 을 '작거나 같다'로 정의하면 이것은 반대칭관계이다.

==반대칭관계와 대칭관계 ==
반대칭관계를 '대칭관계의 반대'로 혼동하기 쉽지만, 이는 사실이 아니다. 어떤 이항관계 ''R''은 다음과 같은 네 가지 모든 경우에 해당할 수 있다.
* 반대칭관계이며 대칭관계인 경우: ''R''이 '''같다'''를 나타내는 경우.
* 반대칭관계이지만 대칭관계는 아닌 경우: ''R''이 '''작거나 같다'''라고 하자.
** <math>a\leq b</math>이고 <math>b\leq a</math>이면 <math>a=b</math> 이므로 ''R''은 반대칭관계이다.
** 그러나 <math>a\leq b</math>라고 <math>b\leq a</math>인 것은 아니므로 대칭관계는 아니다.
* 반대칭관계는 아니지만 대칭관계인 경우: ''R''이 '''<math>n</math>을 법(法, modulus)으로 하는 합동(合同, congruent)'''이라고 하자.
** <math> a \equiv b \bmod{n}</math>이면 <math> b \equiv a \bmod{n}</math>이므로 ''R''은 대칭관계이다.
** <math>3 \equiv 7 \bmod{4}</math>이고 <math>7 \equiv 3 \bmod{4}</math>이지만 3=7은 아니므로 반대칭관계가 아니라는 반례가 된다.
* 반대칭관계도 아니고 대칭관계도 아닌 경우: <math>aRb</math>이 [[정수]] <math>a,b</math>에 대하여 <math>a</math>가 <math>b</math>를 '''나눈다'''는 것을 나타낸다고 하자.
** <math>1 \mid -1</math>이고 <math> -1 \mid 1 </math>이지만 <math>1=-1</math>은 아니므로 반대칭관계가 아니라는 반례가 된다.
** <math> 3 \mid 6 </math>이지만 <math> 6 \mid 3 </math>은 아니므로 대칭관계가 아니라는 반례가 된다.

== 비대칭관계 ==
반대칭관계는 '''비대칭관계'''(非對稱關係, asymmetric relation)와 혼동하기 쉬운데, 이 두 개념은 엄밀히 다른 개념이다. 비대칭관계는 [[집합]] <math>X</math>와 여기에 속하는 임의의 두 원소 a, b에 대하여 정의된 [[이항관계]] <math>R</math>이 있을 때 <math>a R b</math>이면 <math>b R a</math>가 아닌 것이다. 수학적으로 다시 쓰면 다음과 같다.

<math>
\forall a,b \in X, aRb \Rightarrow \lnot (bRa)
</math>

이항관계 R 이 비대칭관계라는 것은 R이 반대칭관계이고 비반사관계라는 것과 동치이다. 
[[분류:집합론]]