반대각 행렬 문서 원본 보기

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'''반대각 행렬'''(antidiagonal matrix) 또는 역 대각 [[행렬]]은 왼쪽에서 오른쪽으로 내려가는 [[주대각선]]의 방향이 반대인 왼쪽에서 오른쪽으로 올라가는 방향의 [[반대각선]]을 갖는 [[행렬]]이다.

== 일반적인 주대각선과 반대각선의 행렬 ==
반대각 행렬
:<math>\begin{bmatrix}
0 & 0 & \color{red}{a}\\
0 & \color{red}{a} & 0\\
\color{red}{a} & 0 & 0\end{bmatrix}</math>
일반적인 주대각선의 [[대각행렬]]
:<math> \begin{bmatrix}
\color{red}{a} & 0 & 0\\
0 & \color{red}{a} & 0\\
0 & 0 & \color{red}{a}\end{bmatrix}
</math>

== 주대각선과 반대각선의 표현 ==
<math>n \times n  \;\;matrix </math>에서,
* 주대각선의 표현
:<math>
 \begin{pmatrix}
\color{red}{x_{ij}} & x_{ij} & x_{ij}\\
x_{ij} & \color{red}{x_{ij}} & x_{ij}\\
x_{ij}& x_{ij} & \color{red}{x_{ij}}
\end{pmatrix}
\qquad
</math>을 예약하고,
<math>i</math>는 행 그리고 <math>j</math>는 열

주 대각선 <math>= x_{ij} =x_{nn} \quad  , \;\; i=j=n </math>


* 반대각선의 표현
:<math>
 \begin{pmatrix}
x_{ij} & x_{ij} & \color{red}{x_{ij}}\\
x_{ij} & \color{red}{x_{ij}} & x_{ij}\\
\color{red}{x_{ij}}& x_{ij} & x_{ij}
\end{pmatrix}
\qquad
</math>

반대각선 <math>= x_{(i) ((n+1)-i)} \quad   i=> 1</math>

== 반대각선의 멱 성질 ==

:<math>
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1  \\
0 & 1 & 0  \\
1& 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1  \\
0 & 1 & 0  \\
1& 0 & 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0  \\
0 & 1 & 0  \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\qquad
</math>
:<math>
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1  \\
0 & 1 & 0  \\
1& 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1  \\
0 & 1 & 0  \\
1& 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1  \\
0 & 1 & 0  \\
1& 0 & 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0  \\
0 & 1 & 0  \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1  \\
0 & 1 & 0  \\
1& 0 & 0
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1  \\
0 & 1 & 0  \\
1& 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>
:<math>
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1  \\
0 & 1 & 0  \\
1& 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1  \\
0 & 1 & 0  \\
1& 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1  \\
0 & 1 & 0  \\
1& 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1  \\
0 & 1 & 0  \\
1& 0 & 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0  \\
0 & 1 & 0  \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0  \\
0 & 1 & 0  \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1  \\
0 & 1 & 0  \\
1& 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0  \\
0 & 1 & 0  \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1  \\
0 & 1 & 0  \\
1& 0 & 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0  \\
0 & 1 & 0  \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>
<math>
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0  \\
0 & 1 & 0  \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1  \\
0 & 1 & 0  \\
1& 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1  \\
0 & 1 & 0  \\
1& 0 & 0
\end{pmatrix}

=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1  \\
0 & 1 & 0  \\
1& 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0  \\
0 & 1 & 0  \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1  \\
0 & 1 & 0  \\
1& 0 & 0
\end{pmatrix}

=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1  \\
0 & 1 & 0  \\
1& 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1  \\
0 & 1 & 0  \\
1& 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0  \\
0 & 1 & 0  \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>
* 반대각선 행렬간에는 [[교환법칙]]이 성립한다.

== 단위행렬 ==
[[단위 행렬]]<math>I</math>로부터,
:<math>
I = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
</math>를 예약하고,
단위 행렬의 <math>1</math> 행과<math> 3</math>행을 재배열하면,
:<math>
I^{a} = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}
</math>
이것은 반대각행렬이면서, [[순열 행렬|순열행렬]]이다.
== 같이 보기 ==
* [[순열 행렬]]
* [[교환 행렬]]

== 참고 ==
* [http://planetmath.org/antidiagonalmatrix 플래닛매스]

[[분류:성긴 행렬]]