반단순 가군 문서 원본 보기

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[[환론]]에서 '''반단순 가군'''(半單純加群, {{llang|en|semisimple module}})은 [[단순 가군]]들의 [[직합]]으로 분해되는 [[가군]]이다.

== 정의 ==
[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 가군을 '''왼쪽 반단순 가군'''이라고 한다.
* 왼쪽 [[단순 가군]]들의 [[직합]]으로 나타낼 수 있다. 즉, <math>_RM\cong\bigoplus_{i\in I}{}_RN_i</math>가 되는 [[단순 가군]]의 집합 <math>\{{}_RN_i\}_{i\in I}</math>이 존재한다.
* <math>_RM</math>의 모든 단순 부분 가군들의 합이다. 즉, <math>_RM</math>의 단순 부분 가군들이 <math>\{{}_RN_i\}_{i\in I}</math>일 때, <math>\textstyle {}_RN=\sum_{i\in I}{}_RN_i</math>로 정의한다면, <math>{}_RN={}_RM</math>이다. (여기서 <math>\textstyle\sum_i</math>은 <math>M</math>의 원소의 합이다.)
* 임의의 부분 가군 <math>_RN\subseteq {}_RM</math>에 대하여, <math>_RM\cong {}_RN\oplus {}_RP</math>인 왼쪽 가군 <math>{}_RP</math>가 존재한다.
* <math>\operatorname{soc}{}_RM={}_RM</math>이다. 여기서 <math>\operatorname{soc}</math>는 [[가군의 주각]]이다.
'''오른쪽 반단순 가군'''도 마찬가지로 정의된다.

== 성질 ==
반단순 가군의 부분 가군과 몫가군 역시 반단순 가군이다.

반단순 가군들의 [[직합]] 역시 반단순 가군이다.

환 <math>R</math> 위의 반단순 가군 <math>M</math>의 [[자기준동형환]] <math>\operatorname{End}_RM</math>은 [[폰 노이만 정칙환]]이다 (따라서 [[반원시환]]이다).

[[반단순환]] 위의 모든 가군은 반단순 가군이다.

== 예 ==
[[나눗셈환]] <math>D</math> 위의 모든 [[가군]]은 반단순 가군이다. (이는 나눗셈환은 [[반단순환]]이기 때문이다.) 이 경우, [[단순 가군]]은 나눗셈환 <math>D</math> 스스로이며, 모든 자유 가군은 <math>D</math>의 직합과 동형이다. 특히, 체 위의 모든 [[벡터 공간]]은 반단순 가군이다.

[[정수환]] <math>\mathbb Z</math> 위의 가군은 [[아벨 군]]이며, 정수환 위의 [[단순 가군]]은 ([[아벨 군]]인 [[단순군]]이므로) 소수 크기의 [[순환군]] <math>\operatorname{Cyc}(p)</math>이다. 따라서, 정수환 위의 반단순 가군은 소수 크기의 순환군들의 직합이다.

== 같이 보기 ==
* [[반단순환]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Completely-reducible module}}
* {{eom|title=Semi-simple module}}
* {{웹 인용|url=https://simomaths.wordpress.com/2014/12/30/semisimple-rings-and-modules/|제목=Semisimple rings and modules|웹사이트=Mathematics and Such|날짜=2014-12-30|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:가군론]]