바젤 문제 문서 원본 보기

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'''바젤 문제'''({{Llang|en|Basel Problem}})는 1650년 이탈리아의 수학자 피에트로 멩골리({{Llang|it|Pietro Mengoli}})에 의해 제기된 것으로 다음의 [[급수 (수학)|급수]]를 닫힌 형식으로 나타내라는 것이었다.

:<math>
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} =
1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \cdots. </math>

이 문제는 제안된 이후 80여년 동안 많은 수학자들이 도전했지만 풀 수 없었던 난제였다. '바젤 문제'라는 이름은 이 문제를 수학계에 널리 알린 [[야코프 베르누이]]가 재직하던 [[스위스]] [[바젤]]시의 바젤 대학에서 유래된 것이다.

[[레온하르트 오일러]]는 1735년에 이 급수가 <math>\frac{\pi^2}{6}</math> 로 수렴함을 증명하였다.<ref>[http://www.southernct.edu/~sandifer/Ed/History/Preprints/Talks/NYU%20Basel%20Problem%20Paper.PDF 오일러의 바젤문제 증명] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20071027221932/http://www.southernct.edu/~sandifer/Ed/History/Preprints/Talks/NYU%20Basel%20Problem%20Paper.PDF}}, Ed Sandifer, Western Connecticut State University</ref> 그러나 그의 초기 증명은 엄밀하지 못하였으며, 그는 1741년에 더욱 엄밀한 증명을 발표하였다.

:

== 오일러의 풀이 ==
[[오일러]]는 다음과 같은 과정을 통해 바젤 문제의 무한 급수의 [[급수|수렴값]]이 <math display="inline">\frac{\pi^2}{6}\,</math>임을 도출해 내었다.

원래의 풀이는 엄밀하지 못한 방법이었으나, 약 100년 후 [[카를 바이어슈트라스]]가 [[바이어슈트라스의 곱 정리|바이어슈트라스 곱 정리]]를 통해 오일러의 증명이 타당함을 보였다.

먼저, 사인 함수의 [[테일러 급수]]를 생각하면
:<math>\begin{align}
\sin x = \sum_{k=0}^\infin \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1} = x - {\frac{x^3}{3!}} + {\frac{x^5}{5!}} - {\frac{x^7}{7!}} + \cdots
\\ \Rightarrow \frac{\sin x}{x} = \sum_{k=0}^{\infin} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k} = 1 - {\frac{x^2}{3!}} + {\frac{x^4}{5!}} - {\frac{x^6}{7!}} + \cdots
\\ \end{align} </math>

<math>\frac{\sin x}{x} = 0 </math>는 <math>x = n\pi (n\in\mathbb{Z}-\{0\}) </math> 가 이 방정식의 [[근 (수학)|근]]이 되므로

<math>\frac{\sin x}{x} </math>는 적당한 상수 <math>A </math> 에 대하여 바이어슈트라스의 곱정리에 따라 다음과 같이 인수분해할 수 있다. (오일러는 이 부분에서 엄밀하지 못한 가정을 사용하였다.)
:<math>\begin{alignat}{2} \frac{\sin x}{x} & = 
A \prod_{n\in\mathbb{Z}-\{0\}} (1 - \frac{x}{n\pi}) = 
A (1 - \frac{x}{ \pi})(1 + \frac{x}{ \pi})(1 - \frac{x}{2\pi})(1 + \frac{x}{2\pi})\cdots
\\ & = A \prod_{n = 1}^\infin (1 - \frac{x^2}{n^2 \pi^2}) = 
A (1-\frac{x^2}{\pi^2})(1-\frac{x^2}{4\pi^2})(1-\frac{x^2}{9\pi^2})\cdots 
\\ \end{alignat} </math>

여기서 양변에 [[극한]]을 취함으로써 <math>A </math> 의 값을 알 수 있다.
:<math>\begin{alignat}{3}
& \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 
\lim_{x \rightarrow 0} A \prod_{n = 1}^\infin (1 - \frac{x^2}{n^2 \pi^2})
\\ & \Longrightarrow\ 1 = A\ (\prod_{n = 1}^\infin 1)
\\ & \Longrightarrow\ A = 1 
\\ \end{alignat} </math><math display="block">\therefore \frac{\sin x}{x} = 
\prod_{n = 1}^\infin (1 - \frac{x^2}{n^2 \pi^2}) = 
(1-\frac{x^2}{\pi^2})(1-\frac{x^2}{4\pi^2})(1-\frac{x^2}{9\pi^2})\cdots </math>

이제 우리는 <math>\frac{\sin x}{x} </math> 에 관한 두 개의 식을 이용해 다음과 같은 [[항등식]]을 도출할 수 있다.
:<math>\sum_{k=0}^{\infin} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k} =
\prod_{n = 1}^\infin (1 - \frac{x^2}{n^2 \pi^2}) </math>

위 식에서 이차항을 비교하면
:<math>\begin{align}
-\frac{1}{3!} = \sum_{n = 1}^\infin (-\frac{1}{n^2 \pi^2})
\\ \Longrightarrow -\frac{1}{6} = -\frac{1}{\pi^2} \sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^2}
\\ \end{align} </math>
:

적절한 변형을 통해 우리가 원하는 결론을 얻을 수 있다.
:<math>\therefore\ \sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}. </math>

=== 오일러의 접근법을 이용한 바젤 문제의 일반화 ===
위에서 구한 <math>\sum_{k=0}^{\infin} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k} =
\prod_{n = 1}^\infin (1 - \frac{x^2}{n^2 \pi^2}) </math>에서 <math>2k
 </math>차 항을 비교하면 다음과 같은 항등식을 유도할 수 있다. (단, <math>B_n </math>은 [[베르누이 수]])
:<math>\sum_{k=1}^\infin \frac{1}{k^{2n}} = \frac{(-1)^{n-1} (2\pi)^{2n}}{2\cdot(2n)!}B_{2n}. </math>

좌변을 [[리만 제타 함수]]로 나타내면 0 이상의 짝수의 함수값을 구할 수 있다.
:<math>
\zeta(2n) = \frac{(-1)^{n-1} (2\pi)^{2n}}{2\cdot(2n)!}B_{2n}.
</math>

== 리만 제타 함수와의 관계 ==
오일러는 이러한 형식을 갖는 급수를 [[리만 제타 함수]]로 일반화하여 모든 0 이상의 짝수에 대하여 수렴값을 닫힌 형식으로 구할 수 있는 방법을 제시하였다.

:<math>
\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} =
\frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s}\cdots. </math>

오일러는 제타 함수의 급수를 구하면서 이것이 [[소수 (수론)|소수]]에 대하여 다음과 같은 곱으로도 표현될 수도 있음을 발견하였다.

:<math>
\zeta(s) =
\prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}=
\frac{1}{1-2^{-s}}\cdot\frac{1}{1-3^{-s}}\cdot\frac{1}{1-5^{-s}}\cdot\frac{1}{1-7^{-s}} \cdots \frac{1}{1-p^{-s}} \cdots
</math>

따라서 제타 함수는 다음과 같이 나타낼 수 있으며 이를 [[오일러의 곱셈 공식]]이라 한다.

:<math>
\zeta(s) =
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} =
\prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}
</math>

== 같이 보기 ==
* [[리만 제타 함수]]

== 각주 ==
<references/>

== 참고 문헌 ==
* {{인용 | 제목=Number Theory: An Approach Through History | 이름=앙드레 | 성=베유 | 저자링크=앙드레 베유 | 출판사=Springer-Verlag | isbn=0-8176-3141-0 | 연도 = 1983 | 언어=en}}.
* {{인용 | 제목=Euler: The Master of Us All | 이름=William | 성=Dunham | 출판사=Mathematical Association of America | 연도=1999 | isbn=0-88385-328-0 | 언어=en}}.
* {{인용 | 제목=Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics | 이름=John | 성=Derbyshire | 출판사=Joseph Henry Press | isbn=0-309-08549-7 | 연도=2003 | 언어=en}}.
* {{인용 | 성1=Aigner | 이름1=Martin | 성2=Ziegler | 이름2=Günter M. | 제목=Proofs from THE BOOK | 출판사=Springer-Verlag | 위치=Berlin, New York | 연도=1998 | 언어=en}}
* {{인용 | 제목=Riemann's Zeta Function | 이름=Harold M. | 성=Edwards | 저자링크 = Harold Edwards (mathematician) | 출판사=Dover | isbn=0-486-41740-9 | 연도=2001 | 언어=en}}.

== 외부 링크 ==
* [http://plus.maths.org/content/infinite-series-surprises An infinite series of surprises] by C. J. Sangwin
* [http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/translations/E352.pdf Remarques sur un beau rapport entre les series des puissances tant directes que reciproques], English translation with notes of Euler’s paper by Lucas Willis and Thomas J. Osler
* [http://www.maa.org/editorial/euler/How%20Euler%20Did%20It%2002%20Estimating%20the%20Basel%20Problem.pdf How Euler did it] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20050513105944/http://www.maa.org/editorial/euler/How%20Euler%20Did%20It%2002%20Estimating%20the%20Basel%20Problem.pdf}}
* [https://web.archive.org/web/20130418033057/http://www.math.psu.edu/sellersj/p25.pdf The infinite series of Euler and the Bernoulli's spice up a calculus class]
* [http://secamlocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/etc/zeta2.pdf Evaluating ζ(2)] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20070629174127/http://secamlocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/etc/zeta2.pdf}}, Fourteen proofs compiled by Robin Chapman

[[분류:수론]]
[[분류:수학 문제]]
[[분류:원주율 알고리즘]]
[[분류:제타 함수와 L-함수]]