바일 변환 문서 원본 보기

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'''바일 변환'''({{llang|en|Weyl transformation}})은 국소적으로 [[계량 텐서]]의 눈금을 바꾸는 변환이다. [[등각 사상]]의 특수한 경우다. [[물리학]], 특히 [[등각장론]]에서 쓰인다.
== 역사 ==
[[헤르만 바일]]은 [[1918년]]에 [[게이지 이론|게이지]]의 개념을 도입하여, [[전자기장]]을 기하학적으로 설명하려고 하였다. 바일이 도입한 게이지는 오늘날 바일 변환으로 일컬어지는 것으로, 국소적으로 시공의 축척을 바꾸는 변환이었다. (영어로 "{{lang|en|gauge|게이지}}"는 측도를 뜻한다.) 바일의 통일장론은 실패하였으나, 그의 등각 대칭의 도입은 살아남아 이후 [[끈 이론]]과 [[위상 양자장론]] 등의 초석을 이루게 되었다. 예를 들어, 끈 이론에서 근본적인 [[폴랴코프 작용]]은 바일 변환을 따른다.
== 정의 ==
계량 텐서 <math>g_{mn}</math>을 생각하자. '''바일 도움변수'''({{llang|en|Weyl parameter}}) <math>\Lambda(x)</math>가 주어지면, 바일 변환은 계량 텐서를 다음과 같이 바꾼다.
:<math>g_{mn}\mapsto(\exp\Lambda)g_{mn}</math>
== 바일 접속 ==
일반적인 [[레비치비타 접속]]은 바일 변환을 따르지 않는다. 바일 변환에 대해 공변하는 [[공변 미분]]을 정의하려면, '''바일 접속'''({{llang|en|Weyl connexion}}) (또는 '''등각 접속''') <math>B_m</math>을 다음과 같이 정의한다. [[레비치비타 접속]] <math>A_m</math>이 주어지면, 이에 대하여 다음과 같이 변환하게 한다.
:<math>B_m=A_m+\frac12\partial_m\Lambda</math>
이를 이용하여, [[등각 무게]] <math>k</math>를 가진 개체 (즉 <math>\phi\mapsto\phi\exp(k\Lambda)</math>와 같이 변환하는 개체)의 바일 공변 미분은 다음과 같다.
:<math>D_m=\partial_m+\frac12kB_m</math>

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|last=Weyl|first=Hermann|authorlink=Hermann Weyl|date=1918|title=Raum, Zeit, Materie}} (영어 번역 1952 Dover. {{ISBN|0-486-60267-2}}).

{{전거 통제}}

[[분류:양자장론]]
[[분류:미분기하학]]