바일 군 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''바일 군'''({{llang|en|Weyl group}})은 [[근계]]의 [[반사 (기하학)|반사]] [[자기동형군]]이다. [[헤르만 바일]]의 이름을 땄다.

== 정의 ==
=== 근계의 바일 군 ===
[[근계]]는 실수 [[벡터 공간]]에서 특정한 성질을 만족시키는 일련의 벡터들의 집합이다. 근계에서, 원점을 중심으로 하고, 근들을 보존시키는 벡터 공간 [[반사 (기하학)|반사]]들의 집합은 합성을 통해 [[콕서터 군]]을 이룬다. 이를 근계의 '''바일 군'''이라고 한다.

바일 군은 반사들로 생성되는 콕서터 군이므로, 이에 대하여 '''길이''' 및 '''[[브뤼아 순서]]'''({{llang|en|Bruhat order}})를 정의할 수 있다. 후자는 바일 군 위에 정의되는 [[부분 순서]]이다. 대략, 바일 군의 두 원소를 <math>g=s_1s_2\cdots s_m</math> 및 <math>h=t_1t_2\dotsc t_n</math>으로, 반사들의 합성으로 최소 길이로 나타내었을 때, <math>g</math>가 <math>h</math>의 부분 문자열일 경우 브뤼아 순서에 대하여 <math>g\le h</math>이다.

=== 리 군의 바일 군 ===
<math>G</math>가 [[연결 공간|연결]] [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리 군]]이라고 하자. <math>G</math> 속의 [[극대 원환면]] <math>T\subseteq G</math>를 고르자. 그렇다면, <math>T</math>에 대한 <math>G</math>의 '''바일 군'''은 다음과 같다.
:<math>\operatorname W(G,T)=\operatorname N_G(T)/\operatorname Z_G(T)</math>
여기서 <math>\operatorname N_G(T)</math>는 [[정규화 부분군]]을, <math>\operatorname Z_G(T)</math>는 [[중심화 부분군]]을 뜻한다. 연결 콤팩트 리 군 <math>G</math>의 모든 [[극대 원환면]]들은 서로 켤레 동치이므로, 바일 군은 군의 동형 아래 유일하게 정의된다.

[[단순 리 군]]과 [[단순 리 대수]]는 근계에 의하여 분류된다. 이 경우, 리 군/대수의 바일 군은 그 근계의 바일 군과 일치한다.

== 목록 ==
단순 근계는 모두 분류되었고, 그 바일 군은 다 알려져 있다. 바일 군의 목록은 다음과 같다.
{| class="wikitable"
!근계 || 리 군 || 바일 군의 크기 || 바일 군
|-
|A<sub>''n''</sub> (''n''&nbsp;≥&nbsp;1) || [[특수 유니터리 군|SU(''n''+1)]] || (''n''+1)! || [[대칭군 (군론)|''S''<sub>n+1</sub>]]
|-
|B<sub>''n''</sub> (''n''&nbsp;≥&nbsp;2) || [[특수직교군|SO(2''n''+1)]] ||  2<sup>''n''</sup> ''n''! || (Z<sub>2</sub>)<sup>n</sup>⋊''S''<sub>n</sub>
|-
|C<sub>''n''</sub> (''n''&nbsp;≥&nbsp;3) || [[심플렉틱 군|USp(2''n'')]] || 2<sup>''n''</sup> ''n''! ||  (Z<sub>2</sub>)<sup>n</sup>⋊''S''<sub>n</sub>
|-
|D<sub>''n''</sub> (''n''&nbsp;≥&nbsp;4) || [[특수직교군|SO(2''n'')]] || 2<sup>''n''&minus;1</sup> ''n''! ||  (Z<sub>2</sub>)<sup>n&minus;1</sup>⋊''S''<sub>n</sub>
|-
|E<sub>6</sub> || [[E₆|E<sub>6</sub>]] || 2<sup>7</sup>×3<sup>4</sup>×5	|| <math>\operatorname{Aut}(\operatorname{PSU}(4;\mathbb F_2))</math>
|-
|E<sub>7</sub>  || [[E₇|E<sub>7</sub>]] || 2<sup>10</sup>×3<sup>4</sup>×5×7	|| <math>\mathbb Z/2\times\operatorname{PS\Omega}(7;\mathbb F_2)</math>
|-
| E<sub>8</sub> ||[[E₈|E<sub>8</sub>]] ||  2<sup>14</sup>×3<sup>5</sup>×5<sup>2</sup>×7 || <math>\operatorname O^+(8;\mathbb F_2)</math>
|-
|F<sub>4</sub>  || [[F₄|F<sub>4</sub>]] || 2<sup>7</sup>×3<sup>2</sup> || <math>\operatorname O^+(4;\mathbb F_3)</math>
|-
|G<sub>2</sub> || [[G₂|G<sub>2</sub>]] || 2<sup>2</sup>×3 ||  [[정이면체군|''D''<sub>6</sub>]]
|}
B<sub>''n''</sub>과 C<sub>''n''</sub>은 서로 쌍대 근계이므로, 같은 바일 군을 가진다. [[번사이드 정리]]에 따라, F<sub>4</sub>의 바일 군은 [[가해군]]이다.

== 예 ==
작은 바일 군들의 예는 다음과 같다.

=== A<sub>1</sub> ===
가장 간단한 ([[자명군]]이 아닌) 바일 군은 <math>A_1</math>의 바일 군인 <math>\operatorname W(A_1)\cong\operatorname{Sym}(2)</math>이다. 이는 하나의 기본 반사 <math>a</math>로 생성되며, 바일 군은 다음과 같다.
:<math>\operatorname W(A_1)=\{\epsilon,a\}</math>
그 브뤼아 순서의 [[하세 도표]]는 다음과 같다.
<pre style="font-family: monospace">
a
|
ε
</pre>

=== A<sub>2</sub> ===
예를 들어, <math>A_2</math>의 바일 군 <math>\operatorname{Sym}(3)</math>의 경우 두 개의 기본 반사 <math>(a,b)</math>로 생성되며, 이에 대하여 바일 군은 다음과 같다.
:<math>\operatorname W(A_2)=\{\epsilon,a,b,ab,ba,aba=bab\}</math>
그 브뤼아 순서의 [[하세 도표]]는 다음과 같다.
<pre style="font-family: monospace">
    aba
   /    \
 ab     ba
  |  \/  |
  |  /\  |
  a      b
   \    /
     ε
</pre>

=== B<sub>2</sub> = C<sub>2</sub> ===
마찬가지로, <math>B_2=C_2</math>의 바일 군 <math>\operatorname{Dih}(\operatorname{Sym}(4))</math>의 경우 두 개의 기본 반사 <math>(a,b)</math>로 생성되며, 이에 대하여 바일 군은 다음과 같다.
:<math>\operatorname W(B_2)=\{\epsilon, a, b, ab, ba, aba, bab, abab=baba\}</math>
이에 대하여, 브뤼아 순서의 [[하세 도표]]는 다음과 같다.
<pre style="font-family: monospace">
    abab
   /    \
 aba    bab
  |  \/  |
  |  /\  |
 ab     ba
  |  \/  |
  |  /\  |
  a      b
   \    /
     ε
</pre>

=== G<sub>2</sub> ===
<math>G_2</math>의 바일 군 <math>\operatorname{Dih}(\operatorname{Sym}(6))</math>의 경우 두 개의 기본 반사 <Math>(a,b)</math>로 생성되며, 이에 대한 바일 군은 다음과 같다.
:<math>\operatorname W(G_2)=\operatorname{Dih}(\operatorname{Sym}(6))=\langle a,b|1=a^2=b^2=(ab)^6\rangle
=\{\epsilon,a,b,ab,ba,aba,bab,abab,baba, ababa, babab, ababab=bababa
\}</math>

이에 대한 브뤼아 순서의 [[하세 도표]]는 다음과 같다.
<pre style="font-family: monospace">
   ababab
   /    \
ababa  babab
  |  \/  |
  |  /\  |
abab    baba
  |  \/  |
  |  /\  |
 aba    bab
  |  \/  |
  |  /\  |
 ab      ba
  |  \/  |
  |  /\  |
  a      b
   \    /
     ε
</pre>

=== A<sub>3</sub> ===
<math>A_3</math>의 바일 군 <math>\operatorname W(A_3)\cong\operatorname{Sym}(4)</math>를 생각하자. [[딘킨 도표]]의 꼭짓점에 대응하는 각 기본 반사를 순서대로 <math>(a,b,c)</math>라고 할 때, <math>\operatorname W(A_3)</math>의 24개의 원소들은 다음과 같다.
:<math>\operatorname W(A_3)
=
\begin{matrix}\{\epsilon,\\
a,b,c,\\
ab,ba,ac=ca,bc,cb,\\
abc, bcb, acb, bac, aba, cba,\\
abcb, abac, bacb, bcba, acba,\\
abacb, abcba, bacba,\\
abacba\}
\end{matrix}
</math>

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|제목=Introduction to Lie Algebras and Representation Theory|연도=1972|url=https://archive.org/details/introductiontoli00jame|이름=James E.|성=Humphreys|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Weyl group}}
* {{매스월드|id=WeylGroup|title=Weyl group}}
* {{nlab|id=Weyl group}}

== 같이 보기 ==
* [[콕서터 군]]

{{전거 통제}}

[[분류:리 군]]
[[분류:유한군]]