바일 곡률 텐서 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[미분기하학]]에서 '''바일 곡률 텐서'''(Weyl曲率tensor, {{llang|en|Weyl curvature tensor}})는 [[리만 다양체]]의 [[곡률]]을 나타내는 완전 무대각합 ({{lang|en|totally trace-free}}) 4-[[텐서]]장이다. [[리만 곡률 텐서]]에서 [[리치 곡률 텐서]]에 해당하는 성분을 빼 없애고 남은 성분으로 생각할 수 있다.

== 정의 ==
''n''차원 [[준 리만 다양체]] <math>(M,g)</math>의 '''바일 곡률 텐서''' <math>W</math>는 (1,3)차 [[텐서장]]이며, 다음과 같다.
:<math>W = \operatorname{Riem} - \frac1{n-2}\left(\operatorname{Ric} - \frac sng\right)\circ g - \frac{s}{2n(n-1)}g\circ g</math>
여기서 <math>g</math>는 (0,2)차 [[계량 텐서]], <math>\operatorname{Riem}</math>은 (1,3)차 [[리만 곡률 텐서]], <math>\operatorname{Ric}</math>은 (0,2)차 [[리치 곡률 텐서]], <math>s</math>는 [[스칼라 곡률]]이다. <math>\circ</math>는 (0,2)차 텐서장의 쿨카르니-노미즈({{llang|en|Kulkarni–Nomizu}}) 곱으로서, 다음과 같다.
:<math>(h\circ k)(v_1,v_2,v_3,v_4) =h(v_1,v_3)k(v_2,v_4)+h(v_2,v_4)k(v_1,v_3)-h(v_1,v_4)k(v_2,v_3)-h(v_2,v_3)k(v_1,v_4)</math>.

국소 좌표로 쓰면 다음과 같다. ([[아인슈타인 표기법]]을 쓰자.)
:<math>W_{abcd}=R_{abcd}-\frac{2}{n-2}(g_{a[c}R_{d]b}-g_{b[c}R_{d]a})+\frac{2}{(n-1)(n-2)}R~g_{a[c}g_{d]b}</math>

== 성질 ==
=== 대칭 ===
바일 곡률 텐서는 [[리만 곡률 텐서]]와 마찬가지로 다음과 같은 성질을 가진다.
:<math>W(u,v) = W(v,u) \qquad\forall x\in M,\;u,v\in \mathrm T_xM</math>
:<math>g(W(u,v)w,z) = -g(W(u,v)z,w) \qquad\forall x\in M,\;u,v,w,z\in \mathrm T_xM</math>
:<math>W(u,v)w + W(v,w)u + W(w,u)v = 0\qquad\forall x\in M,\;u,v,w\in \mathrm T_xM</math>
또한, 바일 곡률 텐서의 대각합은 0이다.
:<math>\operatorname{tr}W(u,-)v = 0\qquad\forall x\in M,\;u,v\in\mathrm T_xM</math>
이를 지표로 적으면 각각 다음과 같다.
:<math>W^a{}_{bcd} = - W^a{}_{bdc}</math>
:<math>W_{abcd} = -W_{bacd}</math>
:<math>W^a{}_{bcd} + W^a{}_{cdb} + W^a{}_{dbc} = 0</math> 
:<math>W^a{}_{bac} = 0</math>

=== 등각 변환 ===
바일 곡률 텐서를 (1,3)차 텐서장으로 나타내자.
:<math>W^a{}_{bcd}</math>
그렇다면 이 텐서는 [[바일 변환]] (등각 변환) <math>g_{ab}(x)\to\lambda(x)g_{ab}</math>에 대하여 불변이다. 반면 [[리만 곡률 텐서]] 전체나 [[리치 곡률 텐서]], [[스칼라 곡률]]은 바일 변환에 대하여 복잡하게 변환한다.

3차원이 아닌 [[리만 다양체]] <math>(M,g)</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 바일 곡률 텐서가 0이다.
* 국소적으로, 어떤 스칼라장 <math>\phi\colon M\to\mathbb R</math>에 대하여, [[리만 계량]] <math>(\exp\phi)g</math>의 [[리만 곡률 텐서]]가 0이다. (즉, <math>M</math>은 '''등각 평탄 다양체''' {{llang|en|conformally flat manifold}}이다.)
(3차원에서는 임의의 다양체에 대하여 바일 곡률 텐서가 0이다. 그러나 등각 평탄이 아닌 3차원 다양체가 존재한다. 2차원 이하에서는 임의의 다양체에 대하여 바일 곡률 텐서가 0이며, 임의의 다양체가 항상 등각 평탄 다양체이다.)

== 예 ==
3차원 이하의 [[준 리만 다양체]]의 바일 곡률 텐서는 항상 0이다.

== 응용 ==
[[일반 상대성 이론]]에서, [[리만 곡률 텐서]]의 성분 가운데 [[리치 곡률 텐서]]는 [[아인슈타인 방정식]]을 통해 결정되지만, 바일 곡률 텐서는 아무런 제한이 없다. 즉, 이는 중력의 고유한 자유도, 다시 말해 미시적으로 [[중력자]] 또는 거시적으로 [[중력파]]를 나타낸다.

== 같이 보기 ==
* [[크리스토펠 기호]]
* [[페트로프 분류]]
* [[바일 곡률 가설]]

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=WeylTensor|title=Weyl tensor}}
* {{nlab|id=Weyl tensor}}

{{전거 통제}}

[[분류:리만 기하학]]
[[분류:일반 상대성이론]]