바인가르텐 공식 문서 원본 보기

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'''바인가르텐 공식'''(Weingarten's formulae, -公式) 또는 '''바인가르텐 방정식'''(Weingarten's equations)은 [[미분기하학]]에서 사용되는 공식으로, [[곡면]]의 단위 법[[벡터]] N을 특정한 방향으로 주어진 [[위치벡터]]의 일계 [[도함수]]로 전개하기 위해 사용된다. [[독일]] [[수학자]] [[율리우스 바인가르텐]](Julius Weingarten)이 [[1861년]] 제출하였다.

== 공식화 ==
''S''를 위치벡터 '''r'''(''u'', ''v'')에 의해 [[매개변수|매개변수화]]된 [[차원|3차원]] [[유클리드 공간]]의 [[곡면]]이라 하자. 이 곡면 위의 어떤 고정된 점 ''P'' = ''P''(''u'', ''v'')에 대하여, ''P'' 에서의 접벡터들은,

:<math> \mathbf{r}_{u} = \frac {\partial \mathbf{r}} {\partial u}, \quad \mathbf{r}_{v} = \frac {\partial \mathbf{r}} {\partial v}</math>

로 주어진다. 이제 '''n'''을 곡면의 단위 법벡터, (''E'', ''F'', ''G'')와 (''L'', ''M'', ''N'')를 곡면의 [[제1 기본 형식]]과 [[제2 기본 형식]]의 계수들이라 하자. 그러면, 바인가르텐 공식은 다음과 같이 주어진다.<ref name="a">Martin Lipschutz, 전재복 역, 《미분기하학개론》, 경문사, 2008, 339-341쪽.</ref>

:<math>\mathbf{n}_u = \frac {FM-GL} {EG-F^2} \mathbf{r}_u + \frac {FL-EM} {EG-F^2} \mathbf{r}_v </math>
:<math>\mathbf{n}_v = \frac {FN-GM} {EG-F^2} \mathbf{r}_u + \frac {FM-EN} {EG-F^2} \mathbf{r}_v </math>

== 증명 ==
일반적으로,

:<math>\mathbf{n}_u = A \mathbf{r}_u + B \mathbf{r}_v</math>
:<math>\mathbf{n}_v = C \mathbf{r}_u + D \mathbf{r}_v</math>

와 같이 쓸 수 있다. 정의에 따라서,

:<math>-L = \mathbf{r}_u\cdot\mathbf{n}_u = AE + BF</math>
:<math>-M = \mathbf{r}_v\cdot\mathbf{n}_u = AF + BG</math>
:<math>-M = \mathbf{r}_u\cdot\mathbf{n}_v = CE + DF</math>
:<math>-N = \mathbf{r}_v\cdot\mathbf{n}_v = CF + DG</math>

를 얻는데, 이는 A, B, C, D에 대한 사원 일차 [[연립방정식]]이 된다. 이를 풀어 계수 A, B, C, D를 구하면 바인가르텐 공식을 얻는다.<ref name="a"/>

== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:기하학 정리]]