바이어스트라스 준비 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[수학]]에서 '''바이어스트라스 준비 정리'''({{llang|en|Weierstrass preparation theorem}})는 주어진 점 <math>P</math>에서 복소 다변수 [[해석 함수]]를 처리하는 방법이다. 그러한 함수는 ''<math>P</math>'' 에서 0이 아닌 함수에 의한 곱셈까지, 하나의 고정 변수 ''z'' 에서 [[다항식]]이며, 이는 [[일계수 다항식]]이고 그의 [[계수]]가 낮은 항의 계수는 나머지 변수에서 해석 함수이고 <math>P</math>에서 0이다.

또한 일부 [[환 (수학)|환]] <math>R</math>에서 <math>u\cdot w</math>로 분해의 아이디어를 확장하는 정리의 여러 변형이 있다. 여기서 <math>u</math>는 [[가역원|단원]]이고 <math>w</math>는 일종의 고유한 '''바이어스트라스 다항식'''이다. 카를 지겔은 19세기 말 일부 ''Traités d'analyse'' 에서 정당한 이유 없이 현재 이름으로 발생했다고 말하면서 [[카를 바이어슈트라스|바이어스트라스]]에 대한 정리의 속성에 대해 이의를 제기했다.

== 복소 해석 함수 ==
하나의 변수에 대해 0에 가까운 해석 함수 <math>f(z)</math>의 국소 형식은 <math>z^kh(z)</math>이다. 여기서 <math>h(0)</math>는 0이 아니며 <math>k</math>는 0에서 ''f'' 의 0의 차수이다. 이것은 준비 정리가 일반화되는 결과이다. 첫 번째라고 가정할 수 있는 변수 ''z'' 하나를 선택하고 복소 변수를 <math>(z,z_2,\dots,z_n)</math>으로 쓴다. 바이어스트라스 다항식 <math>W(z)</math>는 다음과 같다.

: <math>z^k+g_{k-1}z^{k-1}+\dots+g_0</math>

여기서 <math>g_i(z_2,\dots,z_n)</math>는 해석적이고 <math>g_i(0,\dots,0)=0</math>이다.

그런 다음 정리는 해석 함수 ''f'' 에 대해 다음과 같이 말한다.

: <math>f(0,\dots,0)=0</math>

그리고

: <math>f(z,z_2,\dots,z_n)</math>

[[멱급수]]에는 <math>z</math>만 포함하는 항이 있으므로 (국소적으로 <math>(0,\dots,0)</math> 근처)라고 쓸 수 있다.

: <math>f(z,z_2,\dots,z_n)=W(z)h(z,z_2,\dots,z_n)</math>

<math>h(0,\dots,0)\neq0</math>이며, ''<math>W</math>''는 ''바이어스트라스'' 다항식이다.

이는 <math>(0,\dots,0)</math>에 가까운 ''<math>f</math>''의 근들의 집합이 <math>z_2,\dots,z_n</math>의 작은 값을 고정한 다음 방정식 ''<math>W(z)=0</math>''를 풀면 찾을 수 있다는 즉각적인 결과를 가져온다. ''<math>z</math>''의 해당 값은 ''<math>z</math>''에서 ''<math>W</math>''의 차수와 같은 수로 연속적으로 변화하는 여러 분기들을 형성한다. 특히 ''<math>f</math>''는 고립된 근을 가질 수 없다.

=== 나눗셈 정리 ===
관련 결과는 ''<math>f,g</math>''가 해석 함수이고 ''<math>g</math>''가 ''<math>N</math>''차 바이어스트라스 다항식이면 ''<math>f=gh+j</math>''를 만족하는 고유한 쌍 ''<math>h</math>''와 ''<math>j</math>'' 가 존재한다는 '''바이어스트라스 분할 정리'''이다. 여기서 ''<math>j</math>''는 ''<math>N</math>''보다 작은 차수의 다항식이다. 사실, 많은 저자들이 나눗셈 정리의 귀결로서 바이어스트라스 준비를 증명한다. 두 정리가 동치라서 준비 정리에서 나눗셈 정리를 증명하는 것도 가능하다.<ref>{{인용|출판사=Springer|언어=German}}</ref>

=== 응용 ===
바이어스트라스 준비 정리는 ''<math>n</math>'' 변수에서 해석 함수들의 싹들의 환이 뤼케르트 기저 정리라고도 하는 뇌터 환임을 보여주기 위해 사용할 수 있다.<ref>{{인용|출판사=[[American Mathematical Society]]}}</ref>

== 매끄러운 함수 ==
말그랑주 준비 정리라고 하는 베르나르 말그랑주로 인해 [[매끄러운 함수]]에 대한 더 깊은 준비 정리 가 있다. 또한 존 매더의 이름을 따서 명명된 관련 나눗셈 정리가 있다.

== 완비 국소 환의 형식 멱급수 ==
[[완비화 (환론)|완비 국소 환]] ''<math>A</math>''에 대한 [[형식적 멱급수]] 환에 대해 바이어스트라스 준비 정리라고도 부르는 비슷한 결과가 있다. 모든 멱급수 <math>f = \sum_{n=0}^\infty a_n t^n \in A[[t]]</math>에 대해<ref>{{인용|url=Nicolas Bourbaki|출판사=Hermann}}</ref> <math>a_n</math>들 중 ''<math>A</math>''의 [[극대 아이디얼|극대 이데알]] <math>\mathfrak m</math>에 있지 않는 것이 존재하고, <math>A[[t]]</math>의 유일한 [[가역원|단원]] ''u''가 있다. 그리고 <math>b_i \in \mathfrak m</math>인 <math>F=t^s + b_{s-1} t^{s-1} + \dots + b_0</math> 형식의 다음과 같은 다항식 ''<math>F</math>''(소위 고유 다항식)이 존재한다:

: <math>f = uF.</math>

<math>A[[t]]</math>는 다시 완비 국소 환이므로 결과를 반복할 수 있다. 따라서 다변수에서 형식적 멱급수에 대해 비슷한 분해 결과를 제공한다.

예를 들어 이것은 [[P진수|p-진]] 체의 정수 환에 적용된다. 이 경우 정리는 멱급수 ''<math>f(z)</math>''가 항상 ''<math>\pi^nu(z)p(z)</math>''로 유일하게 분해될 수 있다고 한다. 여기서 ''<math>u(z)</math>''는 형식적 멱급수 환의 단원이고, ''<math>p(z)</math>''는 고유 다항식 (모닉, 극대 이데알에서 각각의 비선두 항의 계수를 가짐)이고 ''<math>\pi</math>''는 고정된 [[이산 값매김환|균일자]]이다.

환 <math>\mathbf Z_p[[t]]</math>에 대한 바이어스트라스 준비 및 분할 정리의 적용(이와사와 대수라고도 함)은 이와사와 이론에서 이 환에 대해 유한하게 생성된 가군을 설명할 때 발생한다.<ref>{{인용|url=Lawrence C. Washington|출판사=Springer}}</ref>

바이어스트라스 분할 및 준비의 비가환 버전이 존재하며, ''<math>A</math>''는 반드시 가환 환일 필요는 없으며 형식적 멱급수 대신에 형식 스큐 멱급수를 사용한다.<ref>{{저널 인용|제목=A noncommutative Weierstrass preparation theorem and applications to Iwasawa theory|저널=J. Reine Angew. Math.|성=Otmar Venjakob|url=https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/crll.2003.047/pdf|연도=2003|권=2003|호=559|쪽=153–191|doi=10.1515/crll.2003.047|확인날짜=2022-01-27}} Theorem 3.1, Corollary 3.2</ref>

== 테이트 대수 ==
완비 [[아르키메데스 성질|비 아르키메데스 체]] ''<math>\mathbb k</math>''에 대한<ref>{{인용|url=Siegfried Bosch|출판사=Springer}}</ref>테이트 대수를 위한 바이어스트라스 준비 정리도 있다:

: <math>T_n(k) = \left \{ \sum_{\nu_1, \dots, \nu_n \ge 0} a_{\nu_1, \dots, \nu_n} X_1^{\nu_1} \cdots X_n^{\nu_n}, |a_{\nu_1, \dots, \nu_n}| \to 0 \text{ for } \nu_1 + \dots +\nu_n \to \infty \right \}</math>

이 대수는 강체 기하학의 기본적 구성 요소이다. 이 형태의 바이어스트라스 준비 정리는 은 환 <math>T_n(\mathbb k)</math>들이 [[뇌터 환|뇌터]]이라는 사실에 적용된다.

== 같이 보기 ==

* 오카 정리

== 각주 ==
{{각주}}

* {{인용|last=Lewis|first=Andrew|title=Notes on Global Analysis|url=http://www.mast.queensu.ca/~andrew/teaching/math942/}}
* {{인용|mr=0268402|last=Siegel|first=C. L.|chapter=Zu den Beweisen des Vorbereitungssatzes von Weierstrass|year=1969|title=Number Theory and Analysis (Papers in Honor of Edmund Landau)|pages=297–306|publisher=Plenum|location=New York}}, reprinted in {{인용|mr=0543842|last=Siegel|first=Carl Ludwig|title=Gesammelte Abhandlungen. Band IV|editor-first=K.|editor-last=Chandrasekharan|editor2-first=H.|editor2-last=Maass.|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin-New York|year=1979|pages=1–8|isbn=0-387-09374-5}}
* {{springer|id=W/w097510|title=Weierstrass  theorem|last=Solomentsev|first=E.D.}}
* {{인용|title=Ueber einen Satz des Herrn Noether|doi=10.1007/BF01443952|journal=Mathematische Annalen|volume=30|issue=3|year=1887|pages=401–409|first=L.|last=Stickelberger|s2cid=121360367|url=https://zenodo.org/record/1599614}}
* {{인용|first=K.|last=Weierstrass|title=Mathematische Werke. II. Abhandlungen 2|pages=135–142|publisher=Mayer & Müller|location=Berlin|year=1895}} reprinted by 존son, New York, 1967.

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=https://math.libretexts.org/@go/page/74245|제목=Weierstrass Preparation and Division Theorems. (2021, September 5).|성=Lebl|이름=Jiří|웹사이트=LibreTexts}}

[[분류:복소해석학 정리]]
[[분류:가환대수학]]
[[분류:다변수 복소함수론]]