바이어슈트라스 치환 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[미적분학]]에서 '''바이어슈트라스 치환'''(-置換, {{llang|en|Weierstrass substitution}}) 또는 '''탄젠트 반각 치환'''(-半角置換, {{llang|en|tangent half-angle substitution}}) 또는 '''t-치환'''(-置換, {{llang|en|t-substitution}})은 반각의 [[탄젠트]]를 새로운 변수로 대신하는 [[치환 적분]]이다. [[삼각 함수]]의 [[유리 함수]]를 [[적분]]하는 데 사용된다.

== 정의 ==
모든 [[삼각 함수]]의 [[유리 함수]]는 어떤 2변수 유리 함수 <math>R(u,v)</math>에 대하여 <math>R(\sin x,\cos x)</math>와 같은 꼴로 나타낼 수 있다. '''바이어슈트라스 치환'''은 이러한 함수를 적분하는 데 사용되는 다음과 같은 치환 적분 기법이다.
:<math>\tan\frac x2=t</math>
이 경우 다음이 성립한다.
:<math>\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\;\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\;x=2\arctan t,\;\mathrm dx=\frac 2{1+t^2}\mathrm dt</math>
따라서 <math>R(\sin x,\cos x)</math>의 적분은 다음과 같은 [[유리 함수]] 적분으로 변한다.<ref name="wusj">{{서적 인용
|저자=伍胜健
|제목=数学分析. 第一册
|언어=zh
|출판사=北京大学出版社
|위치=北京
|날짜=2009-08
|isbn=978-7-301-15685-8
}}</ref>{{rp|263-264}}<ref name="zhoumq">{{서적 인용
|저자=周民强
|제목=数学分析习题演练. 第一册
|언어=zh
|판=2
|출판사=科学出版社
|위치=北京
|날짜=2010
|isbn=978-7-03-028183-8
}}</ref>{{rp|351}}
:<math>\int R(\sin x,\cos x)\mathrm dx=\int R\left(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)\frac 2{1+t^2}\mathrm dt</math>
모든 유리 함수의 원함수는 [[초등 함수]]이므로, 모든 삼각 함수의 유리 함수의 원함수 역시 초등 함수이다.<ref name="wusj" />{{rp|264}}

=== 다른 방법 ===
바이어슈트라스 치환은 때로 복잡한 계산을 가져온다. 다음과 같은 몇 가지 특수한 꼴의 경우에는 보다 더 간편한 기법이 존재한다.<ref name="wusj" />{{rp|264-265}}<ref name="zhoumq" />{{rp|351}}
* 만약 <math>R(-u,v)=-R(u,v)</math>라면, 이는 항상 <math>R(u,v)=uR_1(u^2,v)</math> 꼴로 나타낼 수 있으며, 이 경우 <math>\cos x=t</math>와 같이 치환하는 것이 좋다.
*:<math>\int R(\sin x,\cos x)dx=\int\sin xR_1(\sin^2x,\cos x)dx=-\int R_1(1-t^2,t)dt</math>
* 만약 <math>R(u,-v)=-R(u,v)</math>라면, 이는 <math>R(u,v)=vR_1(u,v^2)</math> 꼴로 나타낼 수 있으며, 이 경우 <math>\sin x=t</math>와 같이 치환하는 것이 좋다.
*:<math>\int R(\sin x,\cos x)dx=\int\cos xR_1(\sin x,\cos^2x)dx=\int R_1(t,1-t^2)dt</math>
* 만약 <math>R(-u,-v)=R(u,v)</math>라면, <math>R(u,v)=R_1(u/v,v^2)</math> 꼴이므로, 이 경우 <math>\tan x=t</math>와 같이 치환하는 것이 좋다.
*:<math>\int R(\sin x,\cos x)dx=\int R_1(\tan x,\cos^2x)dx=\int R_1\left(t,\frac 1{1+t^2}\right)\frac 1{1+t^2}dt</math>
사실 모든 유리 함수는 각각 위와 같은 성질을 만족시키는 세 유리 함수의 합으로 나타낼 수 있다.
:<math>R(u,v)=\frac{R(u,v)-R(-u,v)}2+\frac{R(-u,v)-R(-u,-v)}2+\frac{R(-u,-v)+R(u,v)}2</math>

=== 쌍곡선 함수의 경우 ===
바이어슈트라스 치환의 [[쌍곡선 함수]] 버전인 '''쌍곡 탄젠트 반변수 치환'''(雙曲-半變數置換, {{llang|en|hyperbolic tangent half-argument substitution}} 또는 '''쌍곡 t-치환'''(雙曲-置換, {{llang|en|hyperbolic t-substitution}})은 쌍곡선 함수의 유리 함수 <math>R(\sinh x,\cosh x)</math>를 적분하는 데 사용되며, 이는 다음과 같다.<ref name="Stewart2018">{{서적 인용|성=Stewart|이름=Seán M. |제목=How to Integrate It|언어=en|출판사=Cambridge University Press|날짜=2018-02|isbn=978-1-108-41881-2|doi=10.1017/9781108291507}}</ref>{{rp|185, Exercise 13}}
:<math>\tanh\frac x2=t</math>
이 경우 다음이 성립한다.
:<math>\sinh x=\frac{2t}{1-t^2},\;\cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2},\;
x=2\tanh^{-1}t,\;\mathrm dx=\frac 2{1-t^2}\mathrm dt</math>
따라서 <math>R(\sinh x,\cosh x)</math>의 적분은 다음과 같은 유리 함수 적분으로 변한다.<ref name="lizq">{{저널 인용
|저자1=李中强
|저자2=李效民
|제목=双曲函数及其在积分中的应用
|언어=zh
|저널=河南电大
|권=1994년
|호=1
|쪽=26–29
|날짜=1994
|issn=1003-1448
}}</ref>{{rp|29}}
:<math>\int R(\sinh x,\cosh x)\mathrm dx=\int R\left(\frac{2t}{1-t^2},\frac{1+t^2}{1-t^2}\right)\frac 2{1-t^2}\mathrm dt</math>
따라서 모든 쌍곡선 함수의 유리 함수의 원함수는 초등 함수이다.

== 예 ==
다음과 같은 적분들을 생각하자.<ref name="zhoumq" />{{rp|352, 例6.3.8, (3), (4)}}<ref name="wusj" />{{rp|265, 例6.3.4}}
:<math>\int\frac{\sin x}{1+\sin x}\mathrm dx,\;\int\frac{\mathrm dx}{5+3\sin x+4\cos x},\;\int\frac{\cos^3x}{1+\sin^2x}\mathrm dx</math>
첫째 적분은 바이어슈트라스 치환 <math>\tan(x/2)=t</math>을 통해 다음과 같이 구할 수 있다.
:<math>\begin{align}\int\frac{\sin x}{1+\sin x}\mathrm dx
&=\int\frac{4t}{(1+t)^2(1+t^2)}\mathrm dt\\
&=\int\left(-\frac 2{(1+t)^2}+\frac 2{1+t^2}\right)\mathrm dt\\
&=\frac 2{1+t}+2\arctan t+C\\
&=\frac 2{1+\tan(x/2)}+x+C
\end{align}</math>
둘째 적분 역시 바이어슈트라스 치환 <math>\tan(x/2)=t</math>을 통해 다음과 같이 구할 수 있다.
:<math>\begin{align}\int\frac{\mathrm dx}{5+3\sin x+4\cos x}
&=\int\frac 2{5(1+t^2)+6t+4(1-t^2)}\mathrm dt\\
&=\int\frac 2{(3+t)^2}\mathrm dt\\
&=-\frac 2{3+t}+C=-\frac 2{3+\tan(x/2)}+C
\end{align}</math>
셋째 적분은 <math>R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)</math>를 만족시키므로, 바이어슈트라스 치환을 사용할 필요가 없다. 이는 치환 <math>\sin x=t</math>을 통해 다음과 같이 구할 수 있다.
:<math>\begin{align}\int\frac{\cos^3x}{1+\sin^2x}\mathrm dx
&=\int\frac{1-t^2}{1+t^2}\mathrm dt\\
&=\int\left(\frac 2{1+t^2}-1\right)\mathrm dt\\
&=2\arctan t-t+C\\
&=2\arctan\sin x-\sin x+C
\end{align}</math>

=== 쌍곡선 함수의 경우의 예 ===
다음과 같은 적분을 생각하자.<ref name="lizq" />{{rp|29, 例4}}
:<math>\int\frac{\mathrm dx}{1+2\cosh x}</math>
이는 쌍곡 탄젠트 반변수 치환 <math>\tanh(x/2)=t</math>를 통해 다음과 같이 구할 수 있다.
:<math>\begin{align}\int\frac{\mathrm dx}{1+2\cosh x}
&=\int\frac 2{1-t^2+2(1+t^2)}\mathrm dt\\
&=\int\frac 2{3+t^2}\mathrm dt\\
&=\frac 2{\sqrt 3}\arctan\frac t{\sqrt 3}+C\\
&=\frac 2{\sqrt 3}\arctan\frac{\tanh(x/2)}{\sqrt 3}+C
\end{align}</math>

== 같이 보기 ==
* [[삼각 치환]]
* [[오일러 치환]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{수학노트|title=바이어슈트라스 치환}}
* {{매스월드|id=WeierstrassSubstitution|title=Weierstrass substitution}}
* {{플래닛매스|urlname=WeierstrassSubstitutionFormulas|title=Weierstrass substitution formulas}}

[[분류:적분학]]