바빌로니아 수학 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:YBC-7289-OBV-labeled.jpg|오른쪽|섬네일|250x250픽셀| 주석이 달린 바빌로니아 점토판 [[YBC 7289]]. 위 대각선은 [[제곱근 2]]의 근삿값을 네 개의 [[육십진법|육십진수]] 1 24 51 10으로 표시한 것으로, [[십진법]]으로 변환하면<br />1 + 24/60 + 51/60 <sup>2</sup> + 10/60 <sup>3</sup> = 1.41421296... 가 된다. 아래 대각선은 정사각형의 한 변이 30일때, 대각선의 길이의 근삿값은 42 25 35, 십진법으로 42.4263888...임을 보여주고 있다.]]
'''바빌로니아 수학''' 또는 '''아시리아-바빌로니아 수학'''<ref>{{저널 인용|제목=Studies in Assyro-Babylonian mathematics and metrology|저널=Orientalia|성=Lewy|이름=H.|연도=1949|총서=NS|권=18|쪽=40–67; 137–170}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Studies in Assyro-Babylonian mathematics and metrology|저널=Orientalia|성=Lewy|이름=H.|연도=1951|총서=NS|권=20|쪽=1–12}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=La classification des nombres dans les mathématiques babyloniennes|저널=Revue d'Assyriologie|성=Bruins|이름=E. M.|연도=1953|권=47|호=4|쪽=185–188|jstor=23295221}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=Mining the Archives: Festschrift for Christopher Walker on the occasion of his 60th birthday|성=Robson|이름=E.|연도=2002|편집자-성=Wunsch|편집자-이름=C.|출판사=ISLET|위치=Dresden|쪽=245–292|장=Guaranteed genuine originals: The Plimpton Collection and the early history of mathematical Assyriology|isbn=3-9808466-0-1}}</ref> 은  [[고바빌로니아 제국|고바빌로니아]] 시대(기원전 1830~1531년)부터 기원전 3~4세기의 [[셀레우코스 제국|셀레우코스]] 시대까지 [[메소포타미아]] 사람들이 연구하고 실행한 수학이다. 바빌로니아 수학은 천년 이상 동안 그 성격과 내용이 일정하게 유지되었다.<ref name="Aaboe, Asger2">{{서적 인용|제목=The Cambridge Ancient History: Volume 3, Part 2: The Assyrian and Babylonian Empires and other States of the Near East, from the Eighth to the Sixth Centuries B.C.|성=Aaboe|이름=Asger|날짜=1991|연도=|편집자-성=Boardman|편집자-이름=John|편집자2-성=Edwards|편집자2-이름=I. E. S.|출판사=Cambridge University Press|쪽=276–277|장=Babylonian mathematics, astrology, and astronomy|isbn=0-521-22717-8|편집자3-성=Hammond|편집자3-이름=N. G. L.|편집자4-성=Sollberger|편집자4-이름=E.|편집자5-성=Walker|편집자5-이름=C. B. F.}}</ref>

고대 이집트 수학과 관련된 유물이 부족한 반면에, 바빌로니아 수학은 1850년대 이후 발굴된 수백 개의 [[점토판]]에서 알 수 있다. 현재까지 발굴된 대부분의 점토판들은 BC 1800년에서 1600년 사이에 만들어졌으며, [[분수 (수학)|분수]], [[대수학|대수]], [[이차 방정식|2차]] 및 [[삼차 방정식|3차 방정식]], [[피타고라스 정리]] 등의 주제를 다루고 있다. 바빌로니아 점토판 [[YBC 7289]]는 <math>\sqrt{2}</math>의 근삿값을 육십진법으로 소수점 밑 셋째자리까지 정확하게 나타내고 있다.

== 바빌로니아 수학의 기원 ==
바빌로니아 수학은 [[고대 근동]]에서 [[쐐기 문자]]로 쓰인 숫자와 보다 진보된 수학적 관행의 범위이다. 역사적으로 연구는 기원전 2천년대 초의 [[고바빌로니아 제국|고바빌로니아 시대]]에 집중되어 왔다. 바빌로니아 수학의 최초 출현 시기에 대해서는 논란이 있으나, 역사가들은 대체로 기원전 5천년에서 3천년 사이로 추정하고 있다.<ref>{{서적 인용|제목=An Aramaic Wisdom Text From Qumran: A New Interpretation Of The Levi Document|성=Henryk Drawnel|연도=2004|판=illustrated|총서=Supplements to the Journal for the Study of Judaism|권=86|출판사=BRILL|isbn=978-90-04-13753-0}}</ref> 바빌로니아의 수학은 주로 [[아카드어]]와 [[수메르어]]로 된 쐐기 문자로 점토판에 기록되었다.

== 바빌로니아 숫자 ==
바빌로니아는 [[육십진법]]을 [[기수법]]으로 사용했으며, 현재 1분이 60초, 1시간이 60분, 원이 360도인 것 또한 여기서 유래된 것이다.<ref>Michael A. Lombardi, [http://www.scientificamerican.com/article/experts-time-division-days-hours-minutes/ "Why is a minute divided into 60 seconds, an hour into 60 minutes, yet there are only 24 hours in a day?"], "Scientific American" 5 March 2007</ref> 바빌로니아인들이 수학에서 큰 발전을 이룰 수 있었던 데에는 두 가지 이유가 있는데 첫째, 숫자 60은 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60(합성수인 것 포함)의 인수를 가지는 우수한 합성수이므로 [[분수 (수학)|분수]] 계산이 용이하며, 이집트인과 로마인과 달리 바빌로니아인은 왼쪽 열에 쓰여진 숫자가 더 큰 값을 나타내는 진정한 [[위치 기수법]]을 사용했다.(10진법 시스템에서 734 = 7×100 + 3×10 + 4×1과 유사).<ref>{{서적 인용|제목=The Historical Roots of Elementary Mathematics|성=Lucas N. H. Bunt, Phillip S. Jones, Jack D. Bedient|연도=2001|판=reprint|출판사=Courier Corporation|쪽=44|isbn=978-0-486-13968-5}}</ref>

== 고바빌로니아 수학(기원전 2000~1600년) ==
[[파일:Clay_tablet,_mathematical,_geometric-algebraic,_similar_to_the_Pythagorean_theorem._From_Tell_al-Dhabba'i,_Iraq._2003-1595_BCE._Iraq_Museum.jpg|섬네일| 점토판, 수학적, 기하 대수적으로 피타고라스의 정리와 유사하다. 이라크의 텔 알-다바이에서 발굴. 기원전 2003년–1595년. 이라크 박물관]]
[[파일:Clay_tablet,_mathematical,_geometric-algebraic,_similar_to_the_Euclidean_geometry._From_Tell_Harmal,_Iraq._2003-1595_BCE._Iraq_Museum.jpg|섬네일| 점토판, 수학적, 기하 대수적으로 유클리드 기하학과 유사하다. 이라크의 텔 하르말에서 발굴. 기원전 2003년–1595년. 이라크 박물관]]

=== 산술 ===
바빌로니아인들은 [[산술]]을 돕기 위해 미리 계산된 표를 사용했다. 예를 들어, 1854년 [[유프라테스강|유프라테스]] 강의 센케라에서 발견된 두 개의 석판은 기원전 2000년 경에 만들어졌는데, 59까지의 숫자 [[정사각수|제곱]] 과 32까지의 숫자 [[세제곱수]]가 적혀 있었다. 바빌로니아인들은 제곱의 목록과 다음 공식을 함께 사용했다.

: <math>ab = \frac{(a + b)^2 - a^2 - b^2}{2}</math>

: <math>ab = \frac{(a + b)^2 - (a - b)^2}{4}</math>

곱셈을 단순화한다.

바빌로니아인들은 [[장제법]]을 알지는 못했으나,<ref>{{웹 인용|url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Babylonian_mathematics/|제목=Babylonian mathematics|웹사이트=Maths History}}</ref> 대신 [[소수 (수론)|소인수]]가 2, 3 또는 5인 수로만 구성된 유한한 [[곱셈 역원|역수]]를 가지는 수들의 표를 통한 그들만의 방법인

: <math>\frac{a}{b} = a \times \frac{1}{b}</math>
를 개발했다.

1/7, 1/11, 1/13 등의 역수는 60진법 표기법에서는 유한한 표현이 불가능한데, 1/13을 계산하거나 어떤 숫자를 13으로 나누기 위해 바빌로니아인들은 다음과 같은 근사치를 사용했다.

: <math>\frac{1}{13} = \frac{7}{91} = 7 \times \frac {1}{91} \approx 7 \times \frac{1}{90}=7 \times \frac{40}{3600} = \frac{280}{3600} = \frac{4}{60} + \frac{40}{3600}.</math>

=== 대수학 ===
[[바빌로니아]] 점토판 YBC 7289( {{Circa|1800–1600 BC}} )에 기록된 {{수학|{{sqrt|2}}}} 를 4자리 [[육십진법|육십진수]]로 근사화한 𒐕 𒌋𒌋𒐼 𒐐𒐕 𒌋 = 1;24,51,10<ref name="sexagesimal">The standard sexagesimal notation using semicolon–commas was introduced by Otto Neugebauer in the 1930s. {{서적 인용|url=https://books.google.com/books?id=i-juAAAAMAAJ&pg=PA2|제목=Mathematical Cuneiform Texts|성=Neugebauer|이름=Otto|저자링크=Otto Neugebauer|성2=Sachs|이름2=Abraham Joseph|저자링크2=Abraham Sachs|연도=1945|총서=American Oriental Series|권=29|출판사=American Oriental Society and the American Schools of Oriental Research|위치=New Haven|쪽=2|isbn=978-0-940490-29-1|성3=Götze|이름3=Albrecht}}</ref> 은 약 6자리 [[십진법|소수점]]까지 정확한 값으로<ref>Fowler and Robson, p. 368.<br />[http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html Photograph, illustration, and description of the ''root(2)'' tablet from the Yale Babylonian Collection] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20120813054036/http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html}}<br />[http://www.math.ubc.ca/%7Ecass/Euclid/ybc/ybc.html High resolution photographs, descriptions, and analysis of the ''root(2)'' tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection]</ref> {{수학|{{sqrt|2}}}} 를 3자리 60진수로 가장 정확하게 표현한 것이다.

: <math>1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = \frac{30547}{21600} = 1.41421\overline{296}.</math>

바빌로니아 수학자들은 미리 계산된 표를 활용한 산술적 계산뿐만 아니라 [[방정식]]을 푸는 [[초등대수학|대수적]] 방법도 개발했는데, [[이차 방정식]]을 풀 때는 [[이차방정식|근의 공식]]을 사용했다.

: <math>\ x^2 + bx = c</math>

이때 ''b'' 와 ''c는'' 반드시 정수는 아니지만 ''c는'' 항상 양수이다. 이 형태의 방정식에 대한 해는<ref>{{저널 인용|제목=The Babylonian quadratic equation|url=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1956-10_40_333/page/n28|저널=The Mathematical Gazette|성=Berriman|이름=A. E.|연도=1956|권=40|호=333|쪽=185–192|doi=10.2307/3608807|jstor=3608807|mr=80587}}</ref> 다음과 같다는 것을 알고있었다:

: <math>x = - \frac{b}{2} + \sqrt{ \left ( \frac{b}{2} \right )^2 + c}</math>

또한 바빌로니아인들은 나누기와 평균을 사용하여 효율적으로 제곱근을 찾았다.<ref name="Allen">{{저널 인용|제목=Reviews: Mathematics: From the Birth of Numbers. By Jan Gullberg|저널=The American Mathematical Monthly|성=Allen|이름=Arnold|날짜=January 1999|권=106|호=1|쪽=77–85|doi=10.2307/2589607|jstor=2589607}}</ref> 이 유형의 문제에는 넓이가 주어졌을 때 직사각형의 치수와 길이가 너비를 초과하는 양을 구하는 것이 포함되었다.

''n'' <sup>3</sup> +&nbsp;''n'' <sup>2</sup> 표는 특정 [[삼차 방정식]]을 푸는 데 사용되었다.

: <math>\ ax^3 + bx^2 = c.</math>

다음 방정식을 a<sup>2</sup>로 곱하고 b<sup>3</sup> 로 나누면 다음과 같다.

: <math>\left ( \frac{ax}{b} \right )^3 + \left ( \frac {ax}{b} \right )^2 = \frac {ca^2}{b^3}.</math>

''y'' = ''ax'' / ''b'' 로 대입하면 다음과 같다.

: <math>y^3 + y^2 = \frac {ca^2}{b^3}</math>

이제 ''n'' <sup>3</sup> &nbsp;+&nbsp;''n'' <sup>2</sup>에서 우항과 가장 가까운 값을 찾으면 답을 구할 수 있다.

=== 증가 ===
바빌로니아인들은 기하급수적 증가, [[시그모이드 함수]] 형태를 통한 제약적 증가, 그리고 [[배가 시간]]을 모델화했으며, 후자는 대출 이자를 계산할 때 사용했다.

기원전 2000년경의 점토판에는 "매월 1/60의 이자율(복리 없음)이 주어졌을 때 이자와 원금을 합친 값이 원금의 2배가 되는 시간을 계산하라"라는 문제가 적혀있었다. 이 문제에서 연간 이자율은 12/60 = 20%가 이므로, 따라서 배가 시간은 연간 100% 성장/20% 성장 = 5년이 된다.<ref name="hudson">[http://michael-hudson.com/2007/08/why-the-%E2%80%9Cmiracle-of-compound-interest%E2%80%9D-leads-to-financial-crises/ Why the "Miracle of Compound Interest" leads to Financial Crises] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20120510114813/http://michael-hudson.com/2007/08/why-the-%e2%80%9cmiracle-of-compound-interest%e2%80%9d-leads-to-financial-crises/|date=10 May 2012}}, by Michael Hudson</ref><ref>[http://plus.maths.org/issue11/features/compound/ Have we caught your interest?] by John H. Webb</ref>

=== 플림톤 322 ===
[[플림톤 322]] 점토판에는 <math>a^2+b^2=c^2</math>의 해에 상응하는 [[피타고라스 삼조]] 정수들 <math>(a,b,c)</math>들이 적혀있다.

이 주제에 대해 많은 글이 쓰여졌는데, 그 중에는 이 점토판이 초기 삼각법 표 역할을 했을 것이라는 추측도 있다. 당시 서예가들에게 익숙하거나 접근 가능한 방법을 기준으로 석판을 보는 데 주의를 기울여야 한다.<blockquote>[...] "점토판은 어떻게 계산되었는가?"라는 질문은 "점토판은 어떤 문제를 설정했는가?"라는 질문과 동일한 답을 가질 필요는 없다. 첫 번째 질문은 반세기 전에 처음 제안된 것처럼 상호 쌍으로 가장 만족스럽게 답할 수 있으며 두 번째 질문은 일종의 직각 삼각형 문제로 답할 수 있다.<ref>E. Robson, "Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of Plimpton 322", ''Historia Math.'' '''28''' (3), p.&nbsp;202</ref></blockquote>

=== 기하학 ===
바빌로니아인들은 .원의 둘레를 지름의 3배로 측정하고, 넓이를 둘레의 제곱의 1/12로 측정했는데, 이는 ''[[원주율|{{Pi}}]]'' = 3으로 추정해 부피와 면적을 측정하는 일반적인 규칙을 알고 있었다 1936년 [[수사 (엘람)|수사]] 근처에서 발굴된 고대 바빌로니아 수학판(기원전 19~17세기로 추정)은 {{Pi}} 에 대한 더 나은 근사치를 25/8 = 3.125로 제시했는데 이는 정확한 값보다 약 0.5% 낮다.<ref>David Gilman Romano, ''Athletics and Mathematics in Archaic Corinth: The Origins of the Greek Stadion'', American Philosophical Society, 1993, [https://books.google.com/books?id=q0gyy5JOZzIC&pg=PA78 p. 78].
"A group of mathematical clay tablets from the Old Babylonian Period, excavated at Susa in 1936, and published by E.M. Bruins in 1950, provide the information that the Babylonian approximation of {{분수|3|1|8}} or 3.125."
E. M. Bruins, ''[http://www.dwc.knaw.nl/DL/publications/PU00018846.pdf Quelques textes mathématiques de la Mission de Suse]'', 1950.
E. M. Bruins and M. Rutten, ''Textes mathématiques de Suse'', Mémoires de la Mission archéologique en Iran vol. XXXIV (1961).
See also {{서적 인용|제목=A History of Pi|성=Beckmann|이름=Petr|연도=1971|출판사=St. Martin's Press|위치=New York|쪽=12, 21–22}}
"in 1936, a tablet was excavated some 200 miles from Babylon. [...] The mentioned tablet, whose translation was partially published only in 1950, [...] states that the ratio of the perimeter of a regular hexagon to the circumference of the circumscribed circle equals a number which in modern notation is given by 57/60 + 36/(60)<sup>2</sup> [i.e. {{Pi}} = 3/0.96 = 25/8]".
Jason Dyer, [https://numberwarrior.wordpress.com/2008/12/03/on-the-ancient-babylonian-value-for-pi/ On the Ancient Babylonian Value for Pi], 3 December 2008.</ref> 원기둥의 부피는 밑면과 높이의 곱으로 계산되었지만, 원뿔이나 정사각뿔의 절두체의 부피는 높이와 밑면의 합의 절반의 곱으로 잘못 알려져있었다. [[피타고라스 정리|피타고라스의 법칙]]은 바빌로니아인들에게도 알려져 있었다. {{Sfn|Neugebauer|1969}} {{Sfn|Høyrup}} {{Sfn|Robson|2008}}

"바빌로니아 마일"은 약 11.3 km에 해당하는 거리 측정 단위였다. 거리 측정은 결국 태양의 이동 거리를 측정하는 데 사용되는 "시간 마일"로 변환되어 시간을 나타낸다.<ref>Eves, Chapter 2.</ref>

[[바빌로니아 천문학|바빌로니아 천문학자]]들은 [[항성]]의 일출과 일몰, [[행성]]의 운동, 일식과 [[식 (천문)|월식]]에 대해 자세한 기록을 남겼는데, 이를 위해서는 [[천구]]에서 측정한 [[각 (수학)|각거리]]에 대한 지식이 필요했다.<ref name="Maor-20">{{서적 인용|url=https://archive.org/details/trigonometricdel00maor_444|제목=Trigonometric Delights|성=Maor|이름=Eli|연도=1998|출판사=[[Princeton University Press]]|쪽=[https://archive.org/details/trigonometricdel00maor_444/page/n27 20]|isbn=0-691-09541-8}}</ref>

또한 1950년대에 [[오토 노이게바우어]]가 발견한 [[천체력]]을 통해 [[푸리에 해석|푸리에 급수]]의 한 형태를 사용해 계산했다는 것이 밝혀졌다.<ref>{{서적 인용|url=https://books.google.com/books?id=fye--TBu4T0C|제목=The evolution of applied harmonic analysis: models of the real world|성=Prestini|이름=Elena|연도=2004|출판사=Birkhäuser|isbn=978-0-8176-4125-2}}, [https://books.google.com/books?id=fye--TBu4T0C&pg=PA62 p. 62]</ref><ref>{{서적 인용|url=https://books.google.com/books?id=H5smrEExNFUC|제목=Indiscrete thoughts|성=Rota|이름=Gian-Carlo|저자링크=Gian-Carlo Rota|성2=Palombi|이름2=Fabrizio|연도=1997|출판사=Birkhäuser|isbn=978-0-8176-3866-5}}, [https://books.google.com/books?id=H5smrEExNFUC&pg=PA11 p. 11]</ref> {{Sfn|Neugebauer|1969}}<ref>{{저널 인용|제목=Analyzing shell structure from Babylonian and modern times|저널=International Journal of Modern Physics E|성=Brack-Bernsen|이름=Lis|저자링크=Lis Brack-Bernsen|성2=Brack|이름2=Matthias|연도=2004|권=13|호=1|쪽=247–260|arxiv=physics/0310126|bibcode=2004IJMPE..13..247B|doi=10.1142/S0218301304002028}}</ref> 천체의 움직임을 계산하기 위해 바빌로니아인들은 기본적인 산술과 [[황도]] (태양과 행성이 지나는 하늘의 일부)에 기반한 좌표 체계를 사용했다.

[[대영박물관]]에 보관된 석판은 기원전 350~50년경에 쓰여진 점토판은 바빌로니아인들이 추상적인 수학적 공간 속의 사물에 대한 개념을 갖기까지 했다는 증거를 제공한다. 이를 통해 바빌로니아인들이 예전에 생각했던 것보다 훨씬 더 일찍 기하학을 이해하고 사용했다는 사실이 밝혀졌다. 바빌로니아인들은 이전 14세기 유럽에서 처음 시작된 걸로 알려졌던 곡선 아래에 [[사다리꼴]]을 그려 곡선 아래의 면적을 추정하는 방법을 더 이전에 사용해 [[목성]]이 특정 시간 동안 이동한 거리를 계산했다는 것이 밝혀졌다.<ref>{{웹 인용|url=http://www.smithsonianmag.com/science-nature/ancient-babylonians-were-using-geometry-centuries-earlier-thought-180957965/|제목=Babylonians Were Using Geometry Centuries Earlier Than Thought|성=Emspak|이름=Jesse|웹사이트=Smithsonian|확인날짜=1 February 2016}}</ref>

== 같이 보기 ==
{{포털|수학|아시아}}

* [[바빌로니아]]
* [[바빌로니아 천문학]]
* [[수학사|수학의 역사]]
* [[아라비아 수학]]

== 각주 ==
{{각주|30em}}

== 참고 자료 ==

* {{서적 인용|제목=The Babylonian quadratic equation|성=Berriman|이름=A. E.|연도=1956}}
* {{서적 인용|제목=A History of Mathematics|성=Boyer|이름=C. B.|연도=1989|편집자-성=Merzbach|편집자-이름=Uta C.|편집자-링크=Uta Merzbach|판=2nd rev.|출판사=Wiley|위치=New York|isbn=0-471-09763-2}} (1991 pbk ed. {{ISBN|0-471-54397-7}}).
* {{콘퍼런스 인용|last=Høyrup|first=Jens|contribution=Pythagorean 'Rule' and 'Theorem' – Mirror of the Relation Between Babylonian and Greek Mathematics|pages=393–407|editor-last=Renger|editor-first=Johannes|title=Babylon: Focus mesopotamischer Geschichte, Wiege früher Gelehrsamkeit, Mythos in der Moderne. 2. Internationales Colloquium der Deutschen Orient-Gesellschaft 24.–26. März 1998 in Berlin|publisher=Berlin: Deutsche Orient-Gesellschaft / Saarbrücken: SDV Saarbrücker Druckerei und Verlag|url=http://akira.ruc.dk/~jensh/Publications/Pythrule.pdf}}
* {{서적 인용|url=https://archive.org/details/crestofpeacockno00jose|제목=The Crest of the Peacock|성=Joseph|이름=G. G.|연도=2000|출판사=Princeton University Press|isbn=0-691-00659-8}}
* {{웹 인용|url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/mathhist/plimpnote.html|제목=Plimpton 322|성=Joyce|이름=David E.|연도=1995}}
* {{서적 인용|url=https://books.google.com/books?id=JVhTtVA2zr8C|제목=The Exact Sciences in Antiquity|성=Neugebauer|이름=Otto|저자링크=Otto E. Neugebauer|연도=1969|판=2nd|출판사=[[Dover Publications]]|isbn=978-0-486-22332-2}}
* {{ArXiv 인용|eprint=2207.12102|last=Muroi|first=Kazuo|title=Sexagesimal Calculations in Ancient Sumer|year=2022|class=math.HO}}
* {{웹 인용|url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Babylonian_mathematics.html|제목=An overview of Babylonian mathematics|성=O'Connor|이름=J. J.|성2=Robertson|이름2=E. F.|날짜=December 2000|웹사이트=MacTutor History of Mathematics}}
* {{저널 인용|제목=Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of Plimpton 322|저널=Historia Math.|성=Robson, Eleanor|저자링크=Eleanor Robson|url=https://ora.ox.ac.uk/objects/uuid:e3d8eedb-e745-45b3-8612-71f8951599aa|연도=2001|권=28|호=3|쪽=167–206|doi=10.1006/hmat.2001.2317|mr=1849797}}
* {{저널 인용|제목=Words and pictures: New light on Plimpton 322|저널=[[American Mathematical Monthly]]|성=Robson|이름=E.|저자링크=Eleanor Robson|연도=2002|권=109|호=2|위치=Washington|쪽=105–120|doi=10.1080/00029890.2002.11919845|jstor=2695324}}
* {{서적 인용|제목=Mathematics in Ancient Iraq: A Social History|성=Robson|이름=E.|저자링크=Eleanor Robson|연도=2008|출판사=Princeton University Press}}
* {{서적 인용|제목=Hipparchus and Babylonian Astronomy|성=Toomer|이름=G. J.|저자링크=G. J. Toomer|연도=1981}}

[[분류:고대사의 수학]]
[[분류:바빌로니아 수학]]