바벤코-베크너 부등식 문서 원본 보기

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수학에서, '''바벤코-베크너 부등식''' (K.Ivan Babenko 및 William E.Beckner의 이름을 따서 지어짐)은 하우스도르프-영 부등식의 더 정확한 형태 중 하나이다.

== 개념 ==

n차원 [[푸리에 변환]]의 (q, p norm)은 다음과 같이 정의된다.

:<math>\|\mathcal F\|_{q,p} = \sup_{f\in L^p(\mathbb R^n)} \frac{\|\mathcal Ff\|_q}{\|f\|_p},\text{ where }1 < p \le 2,\text{ and }\frac 1 p + \frac 1 q = 1.</math>

1961년, Babenko는 이 norm의 값을 q가 짝수일 때에 한정하여 구하였고. 1975년에, Beckner는 [[에르미트 함수]]가 푸리에 변환의 [[고유벡터]]라는 것을 이용하여 이 norm의 값을 2보다 작지 않은 모든 실수 q에 대하여 정확하게 구하였다. 해당 값은 다음과 같다:

:<math>\|\mathcal F\|_{q,p} = \left(p^{1/p}/q^{1/q}\right)^{n/2}.</math>

엄밀히 말하자면, 이 부등식은, 사용되는 [[푸리에 변환]]의 정의가, 1차원에서는 아래와 같이 정의되고 n차원에서는 seperable kernel n개를 곱한 것을 kernel로 하는 방식으로 정의되어야만 성립한다.
:<math>g(y) \approx \int_{\mathbb R} e^{-2\pi ixy} f(x)\,dx\text{ and }f(x) \approx \int_{\mathbb R} e^{2\pi ixy} g(y)\,dy,</math>

then we have

<math>\left(\int_{\mathbb R} |g(y)|^q \,dy\right)^{1/q} \le \left(p^{1/p}/q^{1/q}\right)^{1/2} \left(\int_{\mathbb R} |f(x)|^p \,dx\right)^{1/p}</math>

<!--아래의 증명은 [[르베그 측도]]와 [[Bernoulli trial]] 및 [[중심 극한 정리]]를 이용한다:-->

[[분류:부등식]]