바른틀 앙상블 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{통계역학}}

[[통계 물리학]]에서 '''바른틀 앙상블'''(canonical ensemble) 또는 '''정준 앙상블'''(正準-)은 온도와 계의 부피, 계 내부에 있는 입자의 수가 고정된 [[고립계]]로 이루어진 [[앙상블 (물리학)|앙상블]], 즉 확률 분포를 일컫는다. 입자 수 ''N'', 부피 ''V'', 온도 ''T''의 약자를 따서 '''NVT 앙상블'''이라고도 한다. 온도를 고정시키기 위해서 각각의 계는 커다란 [[열원]](heat reservoir)안에 들어있는 것으로 생각한다.

어떤 미시계 <math>j</math>가 에너지 <math>E_{j}</math>를 가지고 있을 확률 <math>p_j</math>은 볼츠만 분포를 따른다.
<math>p_j \propto e^{-  E_j /kT}</math>. 여기에서 k는 [[볼츠만 상수]]이다.

== 분배 함수 ==
{{본문|분배 함수 (통계 역학)}}
바른틀 앙상블에서, 계의 모든 미시상태에 일련 번호 <math>j</math>(<math>j</math>=1,2,3, ...)를 붙이고, 계가 미시상태 <math>j</math>에 있을 때 계의 총 에너지를 <math>E_{j}</math>로 표기하자. 일반적으로 계의 불연속적인 양자상태를 미시상태로 간주한다.

'''바른틀 분배함수'''는 다음과 같다.

: <math> Z = \sum_{j} e^{- \beta E_j}</math>

여기서 ''β''는 보통 다음과 같이 정의한다.

: <math>\beta \equiv \frac{1}{k_BT}</math>

''T''는 계의 온도를 뜻하며, ''k<sub>B</sub>''은 [[볼츠만 상수]]다. 미시상태에 [[겹침]](degeneracy) 상태가 존재할 경우, 분배함수는 다음과 같이 쓴다.

: <math> Z = \sum_{j} g_j\cdot e^{- \beta E_j}</math>

여기서 <math>g_j</math>는 [[겹침 인자]]다.

=== 물리적 의미 ===
분배 함수는 온도 ''T''와 미시상태 i의 에너지 ''E''<sub>i</sub>의 함수다. 또한 미시상태의 에너지는 입자의 개수, 계의 부피와 같은 열역학적 변수의 함수다. 미시상태의 에너지를 계산해서 분배함수를 구성할 수 있으면, 그 분배함수에서 계의 다른 열역학적 특성을 계산해낼 수 있다.

또한 분배 함수에는 중요한 통계적 의미가 있다. 계가 미시상태 ''j''에 있을 확률 ''P<sub>j</sub>''은 다음과 같이 쓸 수 있다.

: <math>P_j = \frac{1}{Z} e^{- \beta E_j}. </math>

여기서 <math>e^{- \beta E_j}</math>는 [[볼츠만 인자]]다. 여기서 분배함수는 확률값의 합을 1로 만드는 틀맞춤(Normalization) 상수로 쓰였다.

: <math>\sum_j P_j = \frac{1}{Z} \sum_j e^{- \beta E_j} = \frac{1}{Z} Z
= 1. </math>

"분배 함수"라는 이름은 각각 다른 미시상태의 확률을 '분배'한다고 해서 붙여진 이름이다. ''Z''란 문자는 독일어 단어 ''Zustandssumme''에서 왔으며 "상태의 합(영어: "sum over states")"이란 뜻이다.

== 헬름홀츠 자유에너지 ==
바른틀 앙상블과 관계있는 [[자유에너지]]로, [[헬름홀츠 자유에너지]] ''A'' 가 있다.

:<math> A=-k_bT~\ln Z \,</math>

이는 에너지와 다음과 같은 관계를 만족한다.

:<math>A=<E>-TS\,</math>

여기에서 <math>S</math>는 [[엔트로피]]이다. 엔트로피는

:<math> S = -k_b<\ln p_i> = -k_b \sum_{i} p_i \ln p_i\, </math>

:<math> = -k_b\sum_{i}\frac{1}{Z}\,e^{-\beta E_i}(-\beta E_i - \ln Z)\,</math>

:<math> = \frac{1}{T} <E> + k_b \frac{\ln Z}{Z} \sum_{i} e^{-\beta E_i}</math>

:<math> = \frac{1}{T} <E> + k_b \ln Z </math>

이므로 따라서 아래와 같이 자유에너지를 분배함수로부터 구할 수 있다.

:<math> A = <E>-TS = -k_bT \ln Z \,</math>

== 밀도 행렬의 대각선 성분 ==
바른틀 앙상블에서 에너지의 고윳값이 <math>E_n</math>인 양자상태에 있을 확률은 볼츠만 인자, <math>e^{-\beta E_n}</math>로 주어진다. 밀도 행렬의 대각선 성분은 다음과 같이 표현할 수 있다.
:<math>
\rho_n = {{e^{-\beta E_n}} \over {\sum_n e^{-\beta E_n}}}
</math>

== 밀도 연산자 ==
밀도 연산자 표현식은 다음과 같다.
:<math>
\rho = {{e^{-\beta H}} \over {Tr(e^{-\beta H})}}
</math>

== 자유에너지의 유도 ==
[[엔트로피]]와 [[자유에너지]]의 정의로부터 분배함수로 표현된 자유에너지를 유도할 수 있다.
:<math>
S = <-k_B ln \rho>
  = -k_B <ln \rho>
</math>

<math><G> = Tr[\rho G]</math>이므로,
:<math>
S = -k_B Tr[\rho ln \rho]
</math>
:<math>
= -k_B Tr[\rho (-\beta H - ln Z))]
</math>
:<math>
= k_B \beta Tr[\rho H] + k_B Tr[\rho ln Z]
</math>
:<math>
= k_B \beta <H> + k_B <ln Z>
</math>

:<math>
TS = k_B T \beta <H> + k_B T <ln Z>
</math>
:<math>
= U + k_B T ln Z
</math>

[[자유에너지]]의 정의에 의해,
:<math>
A = U - TS = -k_B T ln Z
</math>

== 응용 ==
바른틀 앙상블과 분배 함수는 일정한 온도를 가지고 있는 계의 열역학적 변수를 계산하는 데 쓰인다. 양자 통계 역학의 포츠 모델은 바른틀 앙상블을 확률 측도로 이용한다.

== 같이 보기 ==
* [[앙상블 (물리학)|앙상블]]
* [[볼츠만 분포]]
* [[헬름홀츠 자유 에너지]]
* [[큰 바른틀 앙상블]]
* [[작은 바른틀 앙상블]]

[[분류:통계역학]]
[[분류:열역학]]