바나흐 대수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[함수해석학]]에서 '''바나흐 대수'''(Banach代數, {{llang|en|Banach algebra}})는 [[바나흐 공간]]과 [[결합 대수]]의 구조를 서로 호환되게 갖춘 [[집합]]이다.<ref name="BD">{{서적 인용|이름1=Frank F. |성1=Bonsall |이름2=John|성2= Duncan | title=Complete normed algebras | publisher=Springer-Verlag | 날짜=1973 | isbn=978-3-642-65671-2|총서=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete|권=80|issn=0071-1136|doi=10.1007/978-3-642-65669-9|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|이름=H. Garth|성= Dales |이름2=Pietro|성2= Aeina |이름3=Jörg |성3=Eschmeier |이름4=Kjeld|성4= Laursen |이름5=George A.|성5= Willis | title=Introduction to Banach Algebras, Operators and Harmonic Analysis | series=Cambridge University Press | 날짜=2003 | isbn=0-521-53584-0 |언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용| 이름=Richard D. |성= Mosak | title=Banach algebras | url=https://archive.org/details/banachalgebras0000mosa | series=Chicago Lectures in Mathematics | 날짜=1975 | isbn=0-226-54203-3 |언어=en}}</ref> 대표적인 예로 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] 위의 [[연속 함수]] 공간이나 바나흐 공간 위의 [[유계 작용소]] 공간이 있다.

== 정의 ==
<math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>가 [[실수체]] 또는 [[복소수체]] 가운데 하나라고 하자. '''<math>\mathbb K</math>-노름 대수'''({{llang|en|normed <math>\mathbb K</math>-algebra}}) <math>(A,+,0,\cdot,1,\|\|)</math>는 다음과 같은 구조가 주어진 [[집합]]이다.<ref name="BD"/>{{rp|4, Definition I.10}}
* <math>(A,+,0,\|\|)</math>는 <math>\mathbb K</math>-[[노름 공간]]이다.
* <math>(A,+,0,\cdot,1)</math>는 <math>\mathbb K</math>-[[결합 대수]]이다.
또한, [[노름 공간]] 구조와 [[결합 대수]] 구조 사이에 다음과 같은 두 호환 조건이 주어져야 한다.
* ([[노름]] 부등식) <math>\Vert a\cdot b\Vert\le\Vert a\Vert\Vert b\Vert\qquad\forall a,b\in A</math>
* (항등원의 노름) <math>\|1\|=1</math>
(일부 문헌에서는 곱셈 항등원을 가져야 하는 조건을 생략한다.<ref name="Rudin"/>{{rp|246, §10.1}})

만약 <math>X</math>가 사실 [[바나흐 공간]]이라면 (즉, [[완비 거리 공간]]이라면), '''<math>\mathbb K</math>-바나흐 대수'''({{llang|en|Banach <math>\mathbb K</math>-algebra}})라고 한다.<ref name="BD"/>{{rp|4, Definition I.10}}<ref name="Rudin">{{서적 인용|first=Walter|last=Rudin|저자링크=월터 루딘|제목=Functional analysis|url=https://archive.org/details/functionalanalys0000rudi|판=2|publisher=MacGraw-Hill|날짜=1991|언어=en|mr=1157815|zbl=0867.46001|기타=International Series in Pure and Applied Mathematics|isbn=0-07-054236-8}}</ref>{{rp|245, Definition 10.1}}

=== 유니터리 원소 ===
<math>\mathbb K</math>-노름 대수 <math>A</math>가 주어졌다고 하자. 이는 [[환 (수학)|환]]을 이루므로, [[가역원]]의 개념을 정의할 수 있다. 가역원 <math>a\in\operatorname{Unit}(A)</math> 가운데 노름이 1인 것을 '''유니터리 원소'''(unitary元素, {{llang|en|unitary element}})라고 한다.

== 연산 ==
=== 반대 대수 ===
<math>\mathbb K</math>-노름 대수 <math>(A,\cdot,\|\|)</math>에 대하여, 그 [[반대환]] <math>A^{\operatorname{op}}=(A,\cdot^{\operatorname{op}})</math>, 즉
:<math>a\cdot^{\operatorname{op}}b=b\cdot a\qquad(a,b\in A)</math>
에 같은 노름을 부여하면, <math>A^{\operatorname{op}}</math> 역시 <math>\mathbb K</math>-노름 대수를 이룬다.<ref name="BD"/>{{rp|6, Example I.17}} 또한, 환 연산은 노름 공간 구조와 상관이 없으므로, 만약 <math>A</math>가 바나흐 대수라면 <math>A^{\operatorname{op}}</math> 역시 바나흐 대수이다.

=== 직합 ===
유한 또는 무한 개의 <math>\mathbb K</math>-바나흐 대수들 <math>(A_i)_{i\in I}</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[직접곱]]의 부분 공간
:<math>A=\widehat\bigoplus_{i\in I}A_i=\left\{
(a_i)_{i\in I}\in\prod_{i\in I}A_i
\colon \sup_{i\in I}\|a_i\|<\infty
\right\}
</math>
위에 L<sup>1</sup> 노름
:<math>\|(a_i)_{i\in I}\|=\sup_{i=1}^n\|a_i\|_{A_i}\qquad(a\in A)</math>
및 성분별 곱
:<math>(a_i)_{i\in I}\cdot(b_i)_{i\in I}=(a_ib_i)_{i\in I}\qquad(a,b\in A)</math>
을 부여하면, 이 역시 <math>\mathbb K</math>-바나흐 대수를 이룬다. 이 경우 <math>A</math>의 항등원은
:<math>1_A=(1_{A_1},1_{A_2},\dotsc,1_{A_n})</math>
이다.

=== 몫 ===
<math>\mathbb K</math>-바나흐 대수 <math>A</math>의 [[양쪽 아이디얼]] <math>\mathfrak I\subseteq A</math>가 주어졌으며, <math>\mathfrak I</math>가 [[닫힌집합]]이며, <math>\mathfrak I\ne A</math>라고 하자. 그렇다면, [[몫환]] <math>A/\mathfrak I</math> 위에는 자연스러운 노름
:<math>\|a+\mathfrak I\|=\inf_{i\in\mathfrak I}\|a+i\|</math>
을 줄 수 있다. 그렇다면, <math>A/\mathfrak I</math> 역시 <math>\mathbb K</math>-바나흐 대수를 이루며, 그 항등원은 <math>1_A+\mathfrak I</math>이다.

=== 복소화 ===
실수 바나흐 대수 <math>A</math>가 주어졌을 때, 그 복소화
:<math>A\otimes_{\mathbb R}\mathbb C</math>
위에 [[노름]]
:<math>\|a\otimes_{\mathbb R}z\|=\|a\||z|</math>
과 곱셈
:<math>(a\otimes_{\mathbb R}z)\cdot(b\otimes_{\mathbb R}w)=ab\otimes_{\mathbb R}zw</math>
을 부여하면, 이는 복소수 바나흐 대수를 이룬다.

=== 완비화 ===
<math>\mathbb K</math>-노름 대수 <math>A</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 [[완비 거리 공간|완비화]] <math>\bar A</math>는 다음과 같이 자연스럽게 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]]을 이룬다.
:<math>\|\bar a\|_{\bar A}=\lim_{i\to\infty}\|a_i\|_A\qquad(\bar a\in\bar A)</math>
(여기서 <math>(a_i)_{i\in\mathbb N}\subseteq A</math>는 <math>\bar a\in\bar A</math>로 수렴하는, <math>A</math> 속의 임의의 [[코시 열]]이다.) 그 위에 곱셈
:<math>\bar a\bar b=\lim_{i\to\infty}a_ib_i\qquad(\bar a,\bar b\in\bar A)</math>
을 정의하면, <math>\bar A</math>는 <math>\mathbb K</math>-바나흐 대수를 이룬다. (여기서 <math>(a_i)_{i\in\mathbb N}\subseteq A</math>와 <math>(b_i)_{i\in\mathbb N}\subseteq A</math>는 각각 <math>\bar a,\bar b\in\bar A</math>로 수렴하는, <math>A</math> 속의 임의의 두 [[코시 열]]이다.) 이를 <math>A</math>의 '''완비화'''(完備化, {{llang|en|completion}})라고 한다.<ref name="BD"/>{{rp|5, Definition I.13}}

=== 무게 부여 ===
<math>\mathbb K</math>-바나흐 대수 <math>A</math>의 원소 <math>w\in A</math>가 주어졌으며, <math>\|w\|\le1</math>이라고 하자. 또한, <math>w</math>가 [[가역원]]이며, [[환의 중심|중심]]에 속한다고 하자.
:<math>w\in\operatorname Z(A)\cap\operatorname{Unit}(A)</math>

이 경우, <Math>A</math> 위에 새 [[이항 연산]] <math>\star_w</math>를 다음과 같이 부여하자.
:<math>a\star_wb=wab\qquad\forall a,b\in A</math>
그렇다면 <Math>(A,\star_w,w^{-1})</math> 역시 <math>\mathbb K</math>-바나흐 대수를 이루며, <math>\star_w</math>에 대한 항등원은 <math>w^{-1}</math>이다.

=== 아렌스 곱 ===
<math>\mathbb K</math>-노름 대수 <math>A</math>의 이중 [[연속 쌍대 공간]] <Math>A''</math> 위에 (이중) [[쌍대 노름]] 및 곱셈
:<math>\phi\chi\colon f\mapsto
\phi(a\mapsto G(f(a)))
\qquad(\phi,\chi\in A'',\;f\in A',\;a\in A)</math>
을 정의하자. 그렇다면, <math>A''</math>는 항상 <math>\mathbb K</math>-바나흐 대수를 이룬다. (만약 <math>A</math>가 바나흐 대수가 아닌 노름 대수이더라도 <math>A''</math>은 항상 바나흐 대수이다.) 이 연산을 '''아렌스 곱'''({{llang|en|Arens product}})이라고 한다.

== 성질 ==
=== 환론적 성질 ===
'''겔판트-마주르 정리'''(Гельфанд-Mazur定理, {{llang|en|Gelfand–Mazur theorem}})에 따르면, 실수 바나흐 대수에 대하여 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.
* [[나눗셈환]]이다.
* [[영역 (환론)|영역]]이며, 모든 [[주 아이디얼]]이 [[닫힌집합]]이다.
* <math>\mathbb R</math> ([[실수체]]) · <math>\mathbb C</math> ([[복소수체]]) · <Math>\mathbb H</math> ([[사원수 대수]]) 가운데 하나이다.
또한, 복소수 바나흐 대수 가운데 [[나눗셈환]]인 것은 <math>\mathbb C</math> 밖에 없다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명 (복소수 바나흐 대수 가운데 [[나눗셈환]]인 것은 <math>\mathbb C</math> 밖에 없다)''':
<div class="mw-collapsible-content">
단위원을 갖는 복소수 바나흐 대수의 모든 원소는 [[공집합]]이 아닌 [[스펙트럼 (함수해석학)|스펙트럼]]을 가진다. (이는 실수 바나흐 대수에 대해서는 성립하지 않는다.) <math>A</math>가 복소수 바나흐 대수라고 하고, <math>A</math>의 0이 아닌 모든 원소가 [[가역원]]이라고 하자. 임의의 원소 <math>a\in A</math>에 대하여, <math>\lambda_a\in\mathbb C</math>가 <math>a</math>의 스펙트럼의 원소라고 하자. 즉, <math>\lambda_a-a</math>는 [[가역원]]이 아니다. 가정에 따라서 <math>a=\lambda_a</math>이다. 즉, <math>a</math>의 스펙트럼은 하나의 원소만을 가진다. 이에 따라 <math>a\mapsto\lambda_a</math>는 동형 사상 <math>A\cong\mathbb C</math>를 이룬다.
</div></div>

실수 바나흐 대수 가운데 [[뇌터 가환환]]인 것은 유한 차원이다. 특히, 실수 바나흐 대수 가운데 [[뇌터 가환환]]이며 [[정역]]인 것은 <math>\mathbb R</math>와 <math>\mathbb C</math> 밖에 없다.

복소수 바나흐 대수 <math>B</math>의 임의의 두 원소 <math>a,b\in B</math>에 대하여, <math>ab-ba\ne1</math>이다. (이는 <math>ab</math>와 <math>ba</math>의 [[스펙트럼 (함수해석학)|스펙트럼]]이 0을 제외하고 서로 같기 때문이다.)

=== 위상수학적 성질 ===
<math>\mathbb K</math>-바나흐 대수는 [[위상환]]을 이룬다. 즉, 덧셈과 곱셈은 [[연속 함수]]를 이룬다.

<math>\mathbb K</math>-바나흐 대수의 가역원군은 [[위상군]]을 이룬다. 구체적으로, <math>\mathbb K</math>-바나흐 대수 <Math>B</math>의 [[가역원군]] <math>\operatorname{Unit}(B)\subseteq B</math>는 <math>B</math>의 [[열린집합]]이며, 역원 함수
:<math>(-)^{-1}\colon\operatorname{Unit}(B)\to\operatorname{Unit}(B)</math>
는 [[연속 함수]]이다.

=== 스펙트럼 ===
{{본문|스펙트럼 (함수해석학)}}
임의의 <math>\mathbb K</math>-바나흐 대수 <math>B</math>의 원소 <math>b\in B</math>의 '''[[스펙트럼 (함수해석학)|스펙트럼]]'''은 다음과 같다.
:<math>\sigma(b)=\left\{\lambda\in\mathbb K\colon\nexists (\lambda-b)^{-1}\right\}</math>
이는 [[바나흐 공간]] 위의 [[유계 작용소]]의 스펙트럼의 개념의 일반화이다.

=== 겔판트 표현 ===
[[가환환|가환]] 복소수 바나흐 대수 <math>B</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 두 집합 사이에 표준적인 [[전단사 함수]]가 존재한다.
* <math>B</math>의 [[극대 아이디얼]]의 집합 <math>\operatorname{Max}(B)</math>
* (항등원을 보존하는) [[결합 대수]] [[준동형]] <math>B\to\mathbb C</math>의 집합 <math>\Delta(B)</math>. (이는 물론 [[전단사 함수]]이어야 한다.)
구체적으로, 이는 다음과 같이 정의된다.
:극대 아이디얼 <math>\mathfrak m\in\operatorname{Max}(B)</math>에 대하여, <math>B/\mathfrak m</math>은 [[체 (수학)|체]]인 복소수 바나흐 대수이므로, <math>B/\mathfrak m\cong\mathbb C</math>이다. 따라서, 몫 준동형 <math>(/\mathbb m)\colon B\twoheadrightarrow B/\mathfrak m\cong\mathbb C</math>이 존재한다.
이 때문에, <math>B</math>의 [[극대 아이디얼]]은 '''지표'''(指標, {{llang|en|character}})라고도 한다.

임의의 지표 <math>\chi\in\Delta(B)</math>는 항상 [[연속 함수]]이다. (이는 그 [[핵 (수학)|핵]] <math>\mathfrak m\in\operatorname{Max}(B)</math>는 항상 [[닫힌집합]]이기 때문이다.) 또한, 그 [[작용소 노름]]은 항상 1이다. 이에 따라, <math>\Delta(B)</math> 위에 점별 수렴 위상을 부여하면, <math>\Delta(B)</math>는 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]을 이룬다. 특히, 복소수 바나흐 대수 <math>\mathcal C^0(\Delta(B),\mathbb C)</math>를 정의할 수 있다.

이 경우, <math>B</math>의 '''겔판트 표현'''(Гельфанд表現, {{llang|en|Gelfand representation}})은 다음과 같다.
:<math>\hat\;\colon B\to\mathcal C^0(\Delta(B),\mathbb C)</math>
:<math>\hat b\colon\chi\mapsto\chi(b)\qquad(b\in B,\;\chi\in\Delta(B))</math>
이는 [[결합 대수]] 준동형을 이루며, 또한 [[스펙트럼 (함수해석학)|스펙트럼]]을 보존한다. 즉, 다음이 성립한다.
:<math>\sigma(b)=\sigma(\hat b)=\{\chi(b)\colon\chi\in\Delta(B)\}\subseteq\mathbb C\qquad\forall b\in B</math>
여기서 우변은 복소수 바나흐 대수 <math>\mathcal C^0(\Delta(B),\mathbb C)</math>에서 취한 스펙트럼이다.

== 예 ==
=== 연속 함수 공간 ===
[[공집합]]이 아닌 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math> 위에 정의된 [[연속 함수]]의 공간 <math>\mathcal C^0(X,\mathbb K)</math>은 ([[균등 노름]] 및 점별 합과 곱에 대하여) <math>\mathbb K</math>-바나흐 대수를 이룬다.<ref name="Rudin"/>{{rp|247, Example 10.3(a)}}

=== 나눗셈 대수 ===
[[실수체]] <math>\mathbb R</math> · [[복소수체]] <math>\mathbb C</math> · [[사원수 대수]] <math>\mathbb H</math>는 모두 실수 바나흐 대수를 이룬다. 이 가운데 <math>\mathbb C</math>는 추가로 복소수 바나흐 대수를 이룬다. (<math>\mathbb R</math>와 <math>\mathbb H</math>는 복소수 바나흐 대수를 이루지 못한다.)

=== 유클리드 공간 ===
자연수 <Math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, 유한 차원 <math>\mathbb K</math>-[[벡터 공간]] <Math>V=\mathbb K^n</math> 위에 1-노름
:<math>\|(a_1,\dotsc,a_n)\|=\max\{a_1,\dotsc,a_n\}</math>
및 성분별 곱
:<math>(a_1,\dotsc,a_n)\cdot(b_1,\dotsc,b_n)=(a_1b_1,\dotsc,a_nb_n)</math>
을 부여하면, 이는 [[가환환|가환]] <math>\mathbb K</math>-바나흐 대수를 이룬다. 그 [[가역원군]]은
:<math>\operatorname{Unit}(V)=(\mathbb K^\times)^n</math>
이다.

=== 유계 작용소 ===
1차원 이상의 <math>\mathbb K</math>-[[노름 공간]] <math>V</math> 위의 <math>V\to V</math> [[유계 작용소]]들의 집합 <math>\operatorname B(V,V)</math>는 [[작용소 노름]]과 [[함수의 합성]]에 의하여 <math>\mathbb K</math>-노름 대수를 이룬다.<ref name="BD"/>{{rp|5, Example I.14}} 만약 <math>V</math>가 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]]이라면, <math>\operatorname B(V,V)</math>는 <math>\mathbb K</math>-바나흐 대수를 이룬다.<ref name="BD"/>{{rp|5, Example I.14}}<ref name="Rudin"/>{{rp|248, Example 10.3(b)}}

=== C* 대수 ===
{{본문|C* 대수}}
모든 [[C* 대수]]는 복소수 바나흐 대수를 이룬다. 구체적으로, [[C* 대수]] <math>(A,^*)</math>가 주어졌을 때, 그 위에 노름
:<math>\|a\|=\sup\left\{\sqrt{|\lambda|}\colon \lambda\in\mathbb C,\;\lambda-a^*a\not\in\operatorname{Unit}(A)\right\}</math>
을 부여하면 이는 바나흐 대수를 이룬다.

=== 위상군 위의 함수 ===
[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[위상군]] <math>G</math> 위의 ([[왼쪽 하르 측도]]에 대한) [[르베그 공간]] <math>\operatorname L^1(G;\mathbb K)</math>은 <math>\mathbb K</math>-바나흐 대수이다. 그 위에 [[합성곱]]
:<math>(f*g)(x)=\int_Gf(y)g(y^{-1}x)\;\mathrm dy\qquad(f,g\in\operatorname L^1(G;\mathbb K))</math>
을 부여하면, 이는 <math>\mathbb K</math>-바나흐 대수를 이룬다.

== 역사 ==
‘바나흐 대수’라는 이름은 [[스테판 바나흐]]를 딴 것이다. 그러나 바나흐 대수의 이론은 [[스테판 바나흐]]와 큰 관계가 없으며, 다만 바나흐가 연구한 [[바나흐 공간]]을 이루기 때문에 이러한 이름이 붙었다.<ref name="Runde">{{저널 인용|arxiv=1206.1366|제목=Why Banach algebras?|이름=Volker|성=Runde|저널=Canadian Mathematical Society Notes|권=44|호=3|날짜=2012-06|쪽=10-11|bibcode=2012arXiv1206.1366R|url=http://cms.math.ca/notes/v44/n3/Notesv44n3.pdf#page=10|언어=en|access-date=2017-01-29|archive-date=2016-12-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20161228225917/https://cms.math.ca/notes/v44/n3/Notesv44n3.pdf#page=10|url-status=}}</ref>

바나흐 대수의 개념은 나구모 미치오({{llang|ja|南雲 道夫}}, 1905~1995)가 1936년에 ‘선형 계량환’({{llang|de|linearer metrischer Ring}})이라는 이름으로 도입하였다.<ref name="Runde"/><ref>{{저널 인용|이름=Mitio|성=Nagumo|제목=Einige analytische Untersuchungen in linearen, metrischen Ringen|저널=Japanese Journal of Mathematics|권=13|날짜=1936|쪽=61–80|url=https://www.jstage.jst.go.jp/article/jjm1924/13/0/13_0_61/_article/-char/ja/|언어=de}}</ref> 이후 [[이즈라일 겔판트]]가 이를 ‘노름환’({{llang|de|normierter Ring}})이라는 이름으로 재도입하였고, 이에 대하여 자세히 연구하였다.<ref name="Runde"/><ref name="Gelfand">{{저널 인용|이름=I. M.|성=Gelfand|저자링크=이즈라일 겔판트|제목=Normierte Ringe|저널=Математический сборник|권=51|호=1|날짜=1941|쪽=3–24|mr=4726|url=
http://mi.mathnet.ru/msb6046 |zbl=0024.32002|jfm=67.0406.02|언어=de}}</ref> 1945년에 워런 앰브로즈({{llang|en|Warren Ambrose}}, 1914~1995)가 ‘바나흐 대수’({{llang|en|Banach algebra}})라는 용어를 도입하였다.<ref name="Runde"/><ref>{{저널 인용|이름=Warren|성=Ambrose|제목=Structure theorems for a special class of Banach algebras|저널=Transactions of the American Mathematical Society|권=57|날짜=1945|쪽=364–386|mr=13235|doi=10.1090/S0002-9947-1945-0013235-8 |언어=en}}</ref>

아렌스 곱은 리하르트 프리드리히 아렌스({{llang|de|Richard Friederich Arens}}, 1919~2000)가 1951년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Richard Friedrich|성=Arens|제목=Operations induced in function classes|저널=Monatshefte für Mathematik|권=55|날짜=1951|쪽=1–19|issn=0026-9255|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002470365|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=Richard Friedrich|성=Arens|제목=The adjoint of a bilinear operation|저널=Proceedings of the American Mathematical Society|권=2|날짜=1951|쪽=839–848|mr=45941|doi=10.1090/S0002-9939-1951-0045941-1 |언어=en}}</ref>

겔판트-마주르 정리는 [[이즈라일 겔판트]]와 [[스타니스와프 마주르]]의 이름을 땄다. 마주르가 1938년에 증명하였는데<ref>{{저널 인용|이름=Stanisław|성=Mazur|저자링크=스타니스와프 마주르|제목=Sur les anneaux linéaires|저널=Comptus Rendus de l’Academie des Sciences|권=207|날짜=1938|쪽=1025–1027|jfm=64.0086.01|언어=fr}}</ref><ref>{{저널 인용|mr=2289675|zbl=1158.46035|성=Mazet|이름=Pierre|제목=La preuve originale de S. Mazur pour son théorème sur les algèbres normées|언어=fr|저널=Gazette de la Société Mathématique de France|권=111|쪽=5–11|날짜=2007|url=http://smf4.emath.fr/Publications/Gazette/2007/111/smf_gazette_111_5-11.pdf|확인날짜=2017-01-29|보존url=https://web.archive.org/web/20160303172617/http://smf4.emath.fr/Publications/Gazette/2007/111/smf_gazette_111_5-11.pdf|보존날짜=2016-03-03|url-status=dead}}</ref>, 저널에 페이지가 모자라 증명을 싣지 못하고 정리 자체만 출판하였다. 1941년에 [[이즈라일 겔판트]]가 독자적으로 증명하였다.<ref name="Gelfand"/>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Banach algebra}}
* {{eom|title=Commutative Banach algebra}}
* {{eom|title=Normed algebra}}
* {{eom|title=Banach function algebra}}
* {{eom|title=Arens multiplication}}
* {{매스월드|id=BanachAlgebra|title=Banach algebra|이름=Mohammad Sal|성=Moslehian}}
* {{매스월드|id=GelfandTransform|title=Gelfand transform}}
* {{매스월드|id=Gelfand-MazurTheorem|title=Gelfand-Mazur theorem|이름=Mohammad Sal|성=Moslehian}}
* {{nlab|id=Banach algebra}}
* {{nlab|id=Gelfand-Mazur theorem}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수]]
[[분류:푸리에 해석학]]
[[분류:함수해석학]]