바나흐-타르스키 역설 문서 원본 보기

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[[파일:Banach-Tarski Paradox.svg|섬네일|200px|공을 유한 개의 조각으로 잘라 공 두 개로 만들 수 있다.]]
'''바나흐-타르스키 역설'''({{llang|en|Banach–Tarski paradox}})은 [[집합론]] [[기하학]]의 [[정리]] 중 하나로, 3차원 상의 [[공 (수학)|공]]을 유한 개의 조각으로 잘라서, 변형 없이 순수 공간이동만으로 재조합하면 원래 공과 같은 부피를 갖는 공 두 개를 만들 수 있다는 정리이다. 이 정리는 최소 5개 조각으로 만드는 것이 가능하다.<ref>{{저널 인용 | last = Tao | first = Terence | authorlink = 테렌스 타오 | year = 2011 | title = An introduction to measure theory | url = http://terrytao.files.wordpress.com/2011/01/measure-book1.pdf | page = 3 | access-date = 2019-05-06 | archive-date = 2020-05-10 | archive-url = https://web.archive.org/web/20200510040721/https://terrytao.files.wordpress.com/2011/01/measure-book1.pdf }}</ref> [[스테판 바나흐]]와 [[알프레트 타르스키]]에 의해 [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]에서 증명되었다. 이 때 공을 유한 개의 부분집합으로 분할할 때의 각 부분집합은 [[르베그 측도|르베그 비가측 집합]]이다.

이 정리의 강력한 형태는 큰 공과 작은 공과 같은 적당한 두 단단한 물체 중 하나를 적당한 조각으로 잘라서 다른 물체로 재조립할 수 있다는 정리이다. 이를 영미권에서는 종종 "완두콩을 잘개 썰어 재조립하면 태양을 만들 수 있다"라고 인용하기 때문에 '''완두콩과 태양 역설'''(pea and the Sun paradox)이라고 부르기도 한다.

바나흐-타르스키 정리가 "[[역설]]"이라고 불리는 이유는 기본적으로 기하학적 직관과는 어긋나는 결과이기 때문이다. 공을 변형하거나, 늘어나게 하거나 새로운 점을 더하지 않은 채 오직 여러 조각으로 쪼갠 후 [[회전]] 및 [[평행 이동]]만을 통해 "공을 두배로 만드게 하는 것"은 부피를 그대로 유지한 채 시행하라고 들리기 때문에 일견 불가능하게 들린다. 회전과 이동이 부피를 보존한다는 직관은 수학적으로 어긋나지 않으며 고전적인 [[부피]]의 개념에도 합당하다. 하지만 바나흐-타르스키 정리의 경우에는 자를 때 하위 집합, 즉 각 조각의 부피를 정의할 수 없으므로 고전적인 부피의 정의를 적용할 수 없다. 이 경우 재조립 시 '부피'라고 말하는 값이 늘어나서 조립하기 전과 후의 '부피'가 달라지는 경우가 발생한다.

이 역설의 결과를 증명할 때에는 [[선택 공리]]가 반드시 필요하다.<ref>Wagon, Corollary 13.3</ref> 선택공리가 없을 경우([[체르멜로-프렝켈 집합론]])나, 선택 공리 대신 [[의존적 선택 공리]]를 사용할 경우 정리가 성립하지 않는다.

== 바나흐-타르스키의 원래 발표 ==
1924년 [[스테판 바나흐]]와 [[알프레트 타르스키]]는 공동 논문에서<ref>{{저널 인용| last = Banach | first = Stefan | last2 = Tarski | first2 = Alfred | title = Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes | journal = [[Fundamenta Mathematicae]] | volume = 6 | year = 1924 | pages = 244–277 | language = 프랑스어 | url = http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm6/fm6127.pdf}}</ref> [[주세페 비탈리]]의 [[단위간격]]에 대한 [[비탈리 집합]] 연구 및 [[펠릭스 하우스도르프]]의 구의 역설적인 분해 연구를 바탕으로 일련의 '''역설적 분해'''(paradoxical decomposition)를 구성하고 다양한 차원에서 [[유클리드 공간]]의 부분집합 분해에 대한 질문을 논의했다. 여기서 이 둘은 좀 더 강력한 형태인 '''강한 바나흐-타르스키 역설'''을 다음과 같이 제시하였다.

: 최소 3차원 이상의 유클리드 공간에 있는 임의의 두 [[유계 집합|유계]] 부분집합 {{math|''A''}}와 {{math|''B''}}가 둘 모두가 비어있지 않은 [[내부 (위상수학)|내부]]를 가지고 있으면, {{math|''A''}}와 {{math|''B''}} 둘을 유한한 [[서로소 집합|서로소 부분집합]] <math>A=A_1 \cup \cdots\cup A_k</math>, <math>B=B_1 \cup \cdots\cup B_k</math> (''k''는 임의의 정수)로 분해할 때, {{math|1}}과 {{math|''k''}} 사이 임의의 (정수) {{math|''i''}}에 대하여 {{math|''A''<sub>''i''</sub>}}와 {{math|''B''<sub>''i''</sub>}} 두 집합은 [[합동 (기하학)|합동]]이다.

여기서 {{math|''A''}}는 원래의 구, {{math|''B''}}는 원래의 구에서 적절한 변환을 통해 2개가 된 구의 합집합이다. 즉 위 말에 따르면 원래의 구 {{math|''A''}}를 유한 개의 조각으로 자른 후 회전 및 평행이동을 통해 {{math|''B''}} 전체집합으로 바꿀 수 있으며 {{math|''B''}}는 {{math|''A''}} 구 2개가 들어있는 형태이다.

강한 바나흐-타르스키 역설은 1, 2차원에서 거짓임이 드러났으나, 바나흐와 타르스키는 [[가산 집합|가산 가능한 많은 부분집합]]이 허용될 경우 비슷한 논제가 참이라는 것을 증명하였다. 1, 2차원에서의 논제의 참 여부와 3차원 이상에서 논제의 참 여부가 달라지는 이유는 고차원에서는 {{math|''n'' {{=}} 1, 2}}의 [[가해군]]에 {{math|''n'' ≥ 3}} 이상에서 2개 계수를 가진 [[자유군]]을 포함하여 [[유클리드 군|유클리드 이동]] {{math|''E''(''n'')}}의 구조가 더 풍부해지기 때문이다. 수학자 [[존 폰 노이만]]은 "역설적인 분해"를 가능하게 만드는 등가군의 특성을 연구하고 [[종순군]]에 대한 개념을 도입하였다. 또한 폰 노이만은 일반적인 기하학적 합동 대신 [[아핀 변환]]을 이용한 공간에서 바나흐-타르스키 역설의 한 형태가 나옴을 발견하였다.

알프레트 타르스키는 종순군은 "역설적인 분해"가 존재하지 않는 군임을 증명했다. 바나흐-타르스키 역설에서는 자유 [[부분군]]만 필요하기 때문에 오랫동안 풀리지 않은 [[폰 노이만 추측]]이 이 역설에서 나왔다.

== 같이 보기 ==
* [[폰 노이만 역설]]
* [[폰 노이만 추측]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용
  | last = Banach
  | first = Stefan
  |author2=Tarski, Alfred
  | title = Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes
  | journal = Fundamenta Mathematicae
  | volume = 6
  | pages = 244–277
  | publisher =
  | year = 1924
  | url = http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm6/fm6127.pdf
  |format=PDF| others = [http://www.emis.de/cgi-bin/JFM-item?50.0370.02 Review at JFM]}}
* {{저널 인용
  | last = Churkin
  | first = V. A.
  | title = A continuous version of the Hausdorff–Banach–Tarski paradox
  | journal = Algebra and Logic
  | volume = 49
  | issue = 1
  | pages = 91–98
  | year = 2010
  | doi = 10.1007/s10469-010-9080-y}}
* Edward Kasner & James Newman (1940) Mathematics and the Imagination, pp 205–7, Simon & Schuster.
* {{웹 인용
  | last = Kuro5hin
  | title = Layman's Guide to the Banach–Tarski Paradox
  | url = http://www.kuro5hin.org/story/2003/5/23/134430/275}}
* {{저널 인용
  | last = Stromberg
  | first = Karl
  | title = The Banach–Tarski paradox
  | journal = The American Mathematical Monthly
  | volume = 86
  | issue = 3
  | pages = 151–161
  | publisher = Mathematical Association of America
  |date=March 1979
  | doi = 10.2307/2321514
  | jstor = 2321514}}
* {{웹 인용
  | last = Su
  | first = Francis E.
  | title = The Banach–Tarski Paradox
  | url = http://www.math.hmc.edu/~su/papers.dir/banachtarski.pdf
  | format = [[PDF]]
  | 확인날짜 = 2016-05-27
  | archive-date = 2006-06-02
  | archive-url = https://web.archive.org/web/20060602091433/http://www.math.hmc.edu/~su/papers.dir/banachtarski.pdf
  | url-status = dead
  }}
* {{저널 인용
  | last = von Neumann
  | first = John
  | title = Zur allgemeinen Theorie des Masses
  | journal = Fundamenta Mathematicae
  | volume = 13
  | pages = 73–116
  | year = 1929
  | url = http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm13/fm1316.pdf
  | format = [[PDF]]}}
* {{서적 인용
  | last = Wagon
  | first = Stan
  | title = The Banach–Tarski Paradox
  | publisher = Cambridge University Press
  | year = 1994 | location = Cambridge | isbn = 0-521-45704-1}}
* {{서적 인용 |last = Wapner | first = Leonard M. |title = The Pea and the Sun: A Mathematical Paradox |location = Wellesley, Mass. | publisher = A.K. Peters  | year = 2005  | url =   | isbn = 1-56881-213-2}}

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류}}
* [http://demonstrations.wolfram.com/TheBanachTarskiParadox/ The Banach-Tarski Paradox] by Stan Wagon ([[Macalester College]]), the [[Wolfram Demonstrations Project]].
* [http://www.irregularwebcomic.net/2339.html Irregular Webcomic! #2339] by David Morgan-Mar provides a non-technical explanation of the paradox. It includes a step-by-step demonstration of how to create two spheres from one.
* {{웹 인용|author=Vsauce |title=The Banach–Tarski Paradox |url=https://www.youtube.com/watch?v=s86-Z-CbaHA&list=PLZRRxQcaEjA5WaVaMtEB86yVXSH-XZ8eT&index=9 |via=[[YouTube]] |postscript=none }} gives an overview on the fundamental basics of the paradox.

{{집합론}}
{{전거 통제}}

[[분류:측도론]]
[[분류:해석학 정리]]
[[분류:수학의 역설]]
[[분류:수학기초론 정리]]