밂 (범주론) 문서 원본 보기

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[[범주론]]에서 '''밂'''({{llang|en|pushout|푸시아웃}})은 어떤 한 쌍의 사상에 의해 결정되는, [[쌍대곱]]의 일반화이다. 일부 범주에서는 흔히 '''올쌍대곱'''({{llang|en|fibered coproduct}})이라고 불린다.

== 정의 ==
어떤 [[범주 (수학)|범주]]에서 대상 <math>X,Y,Z</math> 및 [[사상 (수학)|사상]]
:<math>X\xleftarrow fZ\xrightarrow gY</math>
이 주어졌을 때, <math>X</math>와 <math>Y</math>의 '''밂''' <math>X\sqcup_ZY</math>는 다음과 같은 가환 그림을 만족시키는 대상 <math>P</math> 및 사상 <math>p_1,p_2</math>이다.
:<math>\begin{matrix}
Z&\xrightarrow f&X\\
{\scriptstyle g}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle p_1\\
Y&\xrightarrow[p_2]{}&P
\end{matrix}</math>
이는 범주론적 [[쌍대극한]]을 이루어야 한다. 즉, 다음과 같은 [[보편 성질]]을 만족시켜야 한다. 다른 모든 대상 <math>Q</math> 및 사상 <math>q_1\colon Q\to X</math>, <math>q_2\colon Q\to Y</math>에 대하여, 만약 <math>q_1\circ f=q_2\circ g</math>라면 다음 그림을 가환하게 만드는 유일한 사상 <math>u\colon P\to Q</math>가 존재한다.
:<math>\begin{matrix}
Z&\xrightarrow f&X\\
{\scriptstyle g}\downarrow&&\downarrow&\searrow\\
Y&\to&P&&{}^{q_1}\\
&\searrow&&\searrow^{\exists!u}&\downarrow\\
&&{}_{q_2}&\to& Q
\end{matrix}</math>

만약 <math>X=Y</math>이며 <math>f=g</math>일 경우, <math>X\xleftarrow fZ\xrightarrow fX</math>의 밂은 '''쌍대핵쌍'''(雙對核雙,{{llang|en|cokernel pair}})이라고 한다.

== 성질 ==
(유한) [[쌍대곱]]과 [[쌍대동등자]]가 존재하는 범주에서는 당김이 존재한다. 구체적으로, 쌍대곱
:<math>X\xrightarrow{\iota_X}X\sqcup Y\xleftarrow{\iota_Y}Y</math>
이 주어졌을 때,
:<math>X\xleftarrow fZ\xrightarrow gY</math>
의 밂은
:<math>Z\xrightarrow[\iota_Y\circ g]{\iota_X\circ f}X\sqcup Y</math>
의 [[쌍대동등자]]이다. 반대로, 밂과 [[쌍대곱]]이 존재하는 범주에서는 [[쌍대동등자]]가 존재한다.

만약 <math>Z</math>가 [[끝 대상]]일 경우, <math>X\times_ZY\cong X\times Y</math>이다. 즉, 끝 대상이 존재하는 경우 당김(올곱)은 곱의 일반화이다.

밂은 [[당김 (범주론)|당김]]의 반대 개념이다. 즉, 범주 <math>\mathcal C</math>에서의 밂은 그 [[반대 범주]] <math>\mathcal C^{\operatorname{op}}</math>에서의 당김이며, 반대로 <math>\mathcal C</math>에서의 당김은 <math>\mathcal C^{\operatorname{op}}</math>에서의 밂이다.

== 예 ==
=== 집합 ===
집합과 함수의 범주에서,
:<math>X\xleftarrow fZ\xrightarrow gY</math>
의 밂은 다음과 같은 [[몫집합]]이다.
:<math>X\sqcup_ZY=(X\sqcup Y)/{\sim}</math>
:<math>x\sim y\iff\exists z\in Z\colon (x,y)=(f(z),g(z))</math>

=== 대수적 범주 ===
{{본문|융합된 자유곱}}
[[대수 구조 다양체]]로 정의되는 범주의 경우는 [[완비 범주]]이자 [[쌍대완비 범주]]이므로, 밂이 항상 존재한다. 이 경우, 두 [[대수 구조]]
:<math>X\xleftarrow fZ\xrightarrow gY</math>
의 밂은 <math>X</math>와 <math>Y</math>의 [[쌍대곱]]에서, <math>Z</math>의 원소의 상들을 합치는 최소의 [[합동 관계]]에 대한 몫대수이다.

예를 들어, [[군 (수학)|군]]의 범주에서 밂은 '''[[융합된 자유곱]]'''라고 불린다.

=== 위상 공간 ===
위상 공간의 범주에서,
:<math>X\xleftarrow fZ\xrightarrow gY</math>
의 밂은 [[분리합집합]] <math>X\sqcup Y</math>의 다음과 같은 [[몫공간]]이다.
:<math>X\sqcup_ZY=(X\sqcup Y)/{\sim}</math>
:<math>x\sim y\iff\exists z\in Z\colon (x,y)=(f(z),g(z))</math>

특수한 경우로, 만약 <math>Z</math>가 [[한원소 공간]]일 경우 이는 '''[[쐐기합]]'''이라고 불린다.

== 같이 보기 ==
* [[쌍대곱]]
* [[당김 (범주론)]]

== 참고 문헌 ==
*{{서적 인용 |last=Mac Lane |first=Saunders |저자링크=손더스 매클레인|제목=Categories for the working mathematician |publisher=Springer |날짜=1998 |판=2판 |series=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권= 5 |isbn=978-1-4419-3123-8 | zbl=0906.18001 | mr=1712872 |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8|언어=en }}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Fibre product of objects in a category}}
* {{nlab|id=pushout|title=Pushout}}
* {{nlab|id=cokernel pair|title=Cokernel pair}}

{{전거 통제}}

[[분류:극한 (범주론)]]